如图
，在平面直角坐标系
中，
为等腰直角三角形，
，直角顶点
在轴上，点
在
轴上，点
在第二象限，
．
(1)在线段
上找一点
，使得
，连接
、
，求证：
；
(2)将绕点逆时针旋转，使得点落在
轴正半轴上．
如图
，轴恰好平分
，
与轴交于点
，过点作
轴于点
，则
与
有怎样的数量关系？并说明理由，
如图
，直角边
在两坐标轴上滑动，使点在第四象限内，过点作
轴于点下，在滑动的过程中，
是否为定值？若是，请直接写出答案；若不是，请说出理由．
，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，直角顶点在轴上，点在轴上，点在第二象限，． (1)在线段
上找一点，使得，连接、，求证：；(2)将
绕点逆时针旋转，使得点落在轴正半轴上．如图，轴恰好平分，与轴交于点，过点作轴于点，则与有怎样的数量关系？并说明理由，如图，直角边在两坐标轴上滑动，使点在第四象限内，过点作轴于点下，在滑动的过程中，是否为定值？若是，请直接写出答案；若不是，请说出理由．
更新时间：2023-12-28 18:37:12
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较难
(0.4)
【推荐1】已知四边形
是正方形，点
点
分别是边
所在的直线上的点，
，连接
，
与直线
相交于点H．过点作
，并且使
，连接
．，当点点分别在边上时，与
的数量关系是________，位置关系是________；
(2)如图，当点点分别在
延长线上时，（）中结论是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；
(3)如图，当点点分别在延长线时，（）中结论是否仍然成立？请直接写出你的结论．
是正方形，点点分别是边所在的直线上的点，，连接，与直线相交于点H．过点作，并且使，连接．
，当点点分别在边上时，与的数量关系是________，位置关系是________；(2)如图
，当点点分别在延长线上时，（）中结论是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；(3)如图
，当点点分别在延长线时，（）中结论是否仍然成立？请直接写出你的结论．
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较难
(0.4)
【推荐2】如图1，在平面直角坐标系中，
是等腰直角三角形，且
，点A为y轴正半轴上一点，且满足
，点B为
的延长线与x轴的交点，
．
(1)求点B的坐标；
(2)在（1）的条件下，如图2，点E为y轴正半轴上一点，连接
，过点B作
且
．连接
交x轴于点G，若
，求点E的坐标．
是等腰直角三角形，且，点A为y轴正半轴上一点，且满足，点B为的延长线与x轴的交点，．(1)求点B的坐标；
(2)在（1）的条件下，如图2，点E为y轴正半轴上一点，连接
，过点B作且．连接交x轴于点G，若，求点E的坐标．
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名校
【推荐3】【阅读材料】：
（1）在
中，若
，由“三角形内角和为180°”得
．
（2）在中，若
，由“三角形内角和为180°”得
．
【解决问题】：
如图①，在平面直角坐标系中，点C是x轴负半轴上的一个动点．已知
轴，交y轴于点E，连接CE，CF是∠ECO的角平分线，交AB于点F，交y轴于点D．过E点作EM平分∠CEB，交CF于点M．
（1）试判断EM与CF的位置关系，并说明理由；
（2）如图②，过E点作PE⊥CE，交CF于点P．求证：∠EPC=∠EDP；
（3）在（2）的基础上，作EN平分∠AEP，交OC于点N，如图③．请问随着C点的运动，∠NEM的度数是否发生变化？若不变，求出其值：若变化，请说明理由．
（1）在
中，若，由“三角形内角和为180°”得．（2）在
中，若，由“三角形内角和为180°”得．【解决问题】：
如图①，在平面直角坐标系中，点C是x轴负半轴上的一个动点．已知
轴，交y轴于点E，连接CE，CF是∠ECO的角平分线，交AB于点F，交y轴于点D．过E点作EM平分∠CEB，交CF于点M．（1）试判断EM与CF的位置关系，并说明理由；
（2）如图②，过E点作PE⊥CE，交CF于点P．求证：∠EPC=∠EDP；
（3）在（2）的基础上，作EN平分∠AEP，交OC于点N，如图③．请问随着C点的运动，∠NEM的度数是否发生变化？若不变，求出其值：若变化，请说明理由．
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(0.4)
【推荐1】综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．
【操作判断】
操作一；如图1，正方形纸片，将
沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形的内部，得到折痕，点B的对应点为M，连接
；将
沿过点A的直线折叠，使
与重合，得到折痕，将纸片展平，连接
．
①
；
②线段，，
之间的数量关系为 ．
【深入探究】
操作二：如图2、将
沿所在直线折叠，使点C落在正方形的内部，点C的对应点为N，将纸片展平，连接
、
．
同学们在折纸的过程中发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在边上某一位置时（点E不与点B，C重合），点N恰好落在折痕上，此时交于点P，如图3所示．
(2)小明通过观察图形，得出这样两个结论：①
；②
．请任意选择其中一个结论判断其是否正确，并说明理由．
(3)【拓展应用】若正方形纸片的边长为3，当点N落在折痕或上时，请直接写出线段的长．
【操作判断】
操作一；如图1，正方形纸片
，将沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形的内部，得到折痕，点B的对应点为M，连接；将沿过点A的直线折叠，使与重合，得到折痕，将纸片展平，连接．
①
；②线段
，，之间的数量关系为 ．【深入探究】
操作二：如图2、将
沿所在直线折叠，使点C落在正方形的内部，点C的对应点为N，将纸片展平，连接、．同学们在折纸的过程中发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在
边上某一位置时（点E不与点B，C重合），点N恰好落在折痕上，此时交于点P，如图3所示．(2)小明通过观察图形，得出这样两个结论：①
；②．请任意选择其中一个结论判断其是否正确，并说明理由．(3)【拓展应用】若正方形纸片
的边长为3，当点N落在折痕或上时，请直接写出线段的长．
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较难
(0.4)
【推荐2】已知：如图（1），在△ABC中，AB=BC=2CD，∠ABC=∠DCB=120°，AC交BD于点E．
(1)如图1：作BM⊥CA于M，求证：△DCE≌△BME；
(2)如图2：点F为BC中点，连接AF交BD于点G，当AB＝a时，求FG的长度（用含a的代数式表示）；
(3)如图3：在（2）的条件下，将△ABG沿AG翻折得到△AKG，延长AK交BD于点H，若BH＝5，求CE的长．
(1)如图1：作BM⊥CA于M，求证：△DCE≌△BME；
(2)如图2：点F为BC中点，连接AF交BD于点G，当AB＝a时，求FG的长度（用含a的代数式表示）；
(3)如图3：在（2）的条件下，将△ABG沿AG翻折得到△AKG，延长AK交BD于点H，若BH＝5，求CE的长．
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，C为
的中点，D在
上，连接
，垂足为E，直线
于点F，G．求证：
．
，垂足为E，连接
，写出
之间的数量关系，并说明理由．
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(0.4)
名校
【推荐1】某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设
，现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB、AC上．
活动一：
如图甲所示，从点
开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，
为第1根小棒．
数学思考：
(1)小棒能无限摆下去吗？答：___________．（填“能”或“不能”）
(2)设
，
=___________；
活动二：
如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2=AA1．
数学思考：
(3)若已经摆放了3根小棒，
__________；（用含的式子表示）
(4)若只能摆放5根小棒，求的范围．
，现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB、AC上．活动一：
如图甲所示，从点
开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，为第1根小棒．数学思考：
(1)小棒能无限摆下去吗？答：___________．（填“能”或“不能”）
(2)设
，=___________；活动二：
如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2=AA1．
数学思考：
(3)若已经摆放了3根小棒，
__________；（用含的式子表示）(4)若只能摆放5根小棒，求
的范围．
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较难
(0.4)
【推荐2】抛物线
（
，
为常数，
）顶点为
，与轴交于点， （点在点左侧），与轴交于点，直线
过点且平行于轴，为第一象限内直线上一动点，
为线段上一动点．
(1)若
，
．
①求点和点，的坐标；
②当点 为直线与抛物线的交点时，求
的最小值；
(2)若
，
，且
的最小值等于
时，求，的值．
（，为常数，）顶点为，与轴交于点， （点在点左侧），与轴交于点，直线过点且平行于轴，为第一象限内直线上一动点，为线段上一动点．(1)若
，．①求点
和点，的坐标；②当点
为直线与抛物线的交点时，求的最小值；(2)若
，，且的最小值等于时，求，的值．
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较难
(0.4)
【推荐3】定义：如果1条线段将一个三角形分割成2个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”．如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这2条线段叫做这个三角形的“三等腰线”．如图1，是
的“双等腰线”，
是的“三等腰线”．
(1)请在下面三个图中，分别作出的“双等腰线”，并做必要的标注或说明．
①；②
；
(2)如果一个等腰三角形有“双等腰线”，那么它的底角度数是 ．
(3)如图3，中，
．画出所有可能的“三等腰线”，使得对取值范围的任意值都成立，并做必要的标注或说明．（每种可能用一个图单独表示，如果图不够用可以自己补充）
是的“双等腰线”，是的“三等腰线”． (1)请在下面三个图中，分别作出
的“双等腰线”，并做必要的标注或说明．①
；②； (2)如果一个等腰三角形有“双等腰线”，那么它的底角度数是 ．
(3)如图3，
中，．画出所有可能的“三等腰线”，使得对取值范围的任意值都成立，并做必要的标注或说明．（每种可能用一个图单独表示，如果图不够用可以自己补充）
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