【推荐1】（1）阅读理解：
如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围．
某同学是这样思考的：延长至点，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等，用到的全等判定方法是 　　中线的取值范围是 　　．
（2）问题解决：
如图2，在中，点是边的中点，点在边上，点在边上，若．求证：．
（3）问题拓展：
如图3，在中，点是边的中点，分别以，为直角边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，其中，连接，探索与的数量关系和位置关系，并说明理由．
      

【推荐2】已知：在平面直角坐标系中，点为坐标原点，的顶点的坐标为，顶点在轴上(点在点的右侧)，点在上，连接，且．
(1)如图1，求点的纵坐标；

(2)如图2，点在轴上(点在点的左侧)，点在上，连接交于点；若，求证：

(3)如图3，在(2)的条件下，是的角平分线，点与点关于轴对称，过点作分别交于点，若，求点的坐标．

【推荐3】在中，，．点D在边BC上，且，AE交边BC于点F，连接CE．
（1）如图1，当时，求证：；
（2）如图2，当时，请探究的度数是否为定值，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，当时，过点D作AE的垂线，交AE于点P，交AC于点K，若，求DF的长．

【推荐2】已知：在△ABC年，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）.以AD为边作正方形ADEF，连接CF.

（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：①BD⊥CF.     ②.
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系；
（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变：
①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系，
②若连接正方形对角线AE，DF，交点为0，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由.

【推荐3】已知点，．

(1)在第二象限有一点，请用含的代数式表示四边形的面积___________．
(2)在（1）的条件下，是否存在点，使四边形的面积为的面积的2倍，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由．
(3)若，在轴上确定一点，使为等腰三角形，则符合点的坐标为___________．

【推荐1】探究与应用
(1)【操作发现】
如图1，为等边三角形，点D为边上的一点，，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，请直接写出下列结果：
   
①的度数为                  °；
②与之间的数量关系为                 ；
(2)【类比探究】
如图2，为等腰直角三角形，，点D为边上的一点，，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接．则线段之间有什么数量关系?请说明理由．
   

【推荐3】如图，等边三角形ABC的边长为4，直线l经过点A并与AC垂直．点P从点A开始沿射线AM运动，连接PC，并将△ACP绕点C按逆时针方向旋转60°得到△BCQ，记点P的对应点为Q，线段PA的长为m(m≥0)，当点Q恰好落在直线l上时，点P停止运动．
(1)在图①中，当∠ACP＝20°时，求∠BQC的大小；
(2)在图②中，已知BD⊥l于点D，QE⊥l于点E，QF⊥BD于点F，试问：∠BQF的大小是否会随着点P的运动而改变？若不会，求出∠BQF的大小；若会，请说明理由．
(3)在图③中，连接PQ，记△PAQ的面积为S，请求出S与m的函数关系式(注明m的取值范围)，并求出当m为何值时，S有最大值？最大值为多少？

【推荐1】已知，，，（如图），点，分别为射线上的动点（点C、E都不与点B重合），连接AC、AE使得，射线交射线于点，设，.

（1）如图1，当时，求AF的长.
（2）当点在点的右侧时，求关于的函数关系式，并写出函数的定义域.
（3）连接交于点，若是等腰三角形，直接写出的值.

【推荐2】如图，在中，，以AB为直径的交BC于点D，连接AD，过点D作，垂足为M，AB、MD的延长线交于点N．

(1)求证：MN是的切线；
(2)求证：；
(3)若，，求的半径．