【推荐1】如图①是1个直角三角形和2个小正方形，直角三角形的三条边长分别是a，b，c，其中a，b是直角边，正方形的边长分别是a、b．

（1）将4个完全一样的直角三角形和2个小正方形构成一个大正方形（如图②）．用两种不同的方法列代数式表示图②中的大正方形面积：
方法一：______________________________；
方法二：______________________________；
（2）观察图②，试写出，，，这四个代数式之间的等量关系；
（3）利用（2）的结论计算的值．

【推荐2】某班数学活动小组的同学用纸板制作长方体包装盒，其平面展开图和相关尺寸如图所示，其中阴影部分为内部粘贴角料．（单位：毫米）
（1）此长方体包装盒的体积为　 　立方毫米；（用含x、y的式子表示）
（2）此长方体的表面积（不含内部粘贴角料）为　 　平方毫米；（用含x、y的式子表示）
（3）若内部粘贴角料的面积占长方体表面纸板面积的，求当x＝40毫米，y＝70毫米时，制作这样一个长方体共需要纸板多少平方米．

【推荐3】观察如图所示的图形，回答下列问题：
（1）按甲方式将桌子拼在一起．

4张桌子拼在一起共有      个座位，n张桌子拼在一起共有      个座位；
（2）按乙方式将桌子拼在一起．

6张桌子拼在一起共有      个座位，m张桌子拼在一起共有      个座位；
（3）某食堂有A，B两个餐厅，现有102张这样的长方形桌子，计划把这些桌子全放在两个餐厅，每个餐厅都要放有桌子.将a张桌子放在A餐厅，按甲方式每6张拼成1张大桌子；将其余桌子都放在B餐厅，按乙方式每4张桌子拼成1张大桌子，若两个餐厅一共有404个座位，问A，B两个餐厅各有多少个座位？

【推荐1】《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大意是说：“已知有一扇长方形门的高比宽多尺，门的对角线长为丈（丈尺），那么门的高和宽各是多少？”

【推荐2】在一块长、宽的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园所占面积为荒地面积的一半．方案一：如图1，花园四周小路的宽度相等；方案二：如图2，矩形中每个角上的扇形相同．
   
(1)求方案一中小路的宽度，设小路的宽度为米，请列出方程，不做解答．
(2)求方案二中扇形的半径；（其中，结果保留根号）
(3)你还有其他的设计方案吗？请在图3中画出你的设计草图，将花园部分涂上阴影，并加以说明．

【推荐3】某校八年级学生在数学社团课上进行了项目化学习研究，某小组研究如下：
【提出驱动性问题】如何设计无盖长方体纸盒？
【设计实践任务】选择“素材1”“素材2”设计了“任务1”“任务2”“任务3”的实践活动．请你尝试帮助他们解决相关问题．

素材1	利用一边长为的正方形纸板可能设计成如图所示的无盖纸盒．
素材2	如图，若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖纸盒．
问题解决
任务1	设剪去的小正方形边长为，请用含的代数式表示折成的无盖长方体纸盒的侧面积．
任务2	若用上述方式折成的无盖长方体纸盒侧面积为，试求出此时纸盒的体积．
任务3	探究按上述方式折成的无盖长方体纸盒侧面积能否到达？若能，请求出此时剪去的小正方形边长；若不能，请说明理由．

【推荐1】如图，ABC中，∠BAC＝90°，AC＝AB＝4，AD⊥BC于D，P为边AB上一动点，过点P作PE⊥AB分别交线段BC、AD于E、F．设AP＝x，APF和DEF的面积分别为S₁、S₂．
（1）用含x的代数式表示DE的长；
（2）若S＝S₁+S₂，求S与x的函数关系式，并说明S＞是否成立．

【推荐2】如图，已知抛物线过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）点M、N为抛物线上的动点，过点M作MD∥y轴，交直线BC于点D，交x轴于点E．
（1）求二次函数的表达式；
（2）过点N作NF⊥x轴，垂足为点F，若四边形MNFE为正方形（此处限定点M在对称轴的右侧），求该正方形的面积；
（3）若∠DMN=90°，MD=MN，求点M的横坐标．

【推荐3】如图，矩形花圃，它的一边利用已有的围墙，可利用的围墙长度不超过，另外三边所围的栅栏的总长度是，设长为x米．
   
(1)若矩形的面积为，求的长度．
(2)若矩形的面积是S，求当x为何值时，S有最大值？