在数学综合实践课上，仿照北师大版九年级上册第8页，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展探究活动.如图1，将长与宽都相等的两个矩形纸片
和
叠放在一起，固定矩形，将矩形绕
的中点O逆时针旋转
.
(1)初步发现：在旋转过程中，对角线
与边
、
分别交于点S、T，如图2，则线段
与
始终存在着怎样的数量关系?请说明理由；
(2)继续探究：旋转过程中，当两个矩形纸片重叠部分为四边形
时，如图2.
①求证：四边形为菱形；
②随着矩形纸片的旋转，四边形的面积会发生变化，若
，
，请求出四边形的最大面积与最小面积．
和叠放在一起，固定矩形，将矩形绕的中点O逆时针旋转.(1)初步发现：在旋转过程中，对角线
与边、分别交于点S、T，如图2，则线段与始终存在着怎样的数量关系?请说明理由；(2)继续探究：旋转过程中，当两个矩形纸片重叠部分为四边形
时，如图2.①求证：四边形
为菱形；②随着矩形纸片
的旋转，四边形的面积会发生变化，若，，请求出四边形的最大面积与最小面积．
更新时间：2024-01-18 13:48:10
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较难
(0.4)
【推荐1】如图，点
是反比例函数
(
＞
)图象上的一点. 过点分别作轴、
轴的平行线，分别与轴、轴交于点
，
，与经过点(
，
)的双曲线
．(
，＞)交于点
，
，连接．
（1）求
的值；
（2）连接
，
．若点的横坐标为，求△
的面积；
（3）若直线分别与轴，轴交于点
，
，求证：
．
是反比例函数(＞)图象上的一点. 过点分别作轴、轴的平行线，分别与轴、轴交于点，，与经过点(，)的双曲线．(，＞)交于点，，连接．（1）求
的值；（2）连接
，．若点的横坐标为，求△的面积；（3）若直线
分别与轴，轴交于点，，求证：．
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(0.4)
【推荐2】（1）如图①，在正方形中，
的顶点、
分别在
、上．
垂足为
且
，求
的度数．
（2）如图②在
中，
，
，点、是
上的任意两点，且
，将
绕点逆时针旋转
至
位置，连接
，试判断线段
、
、
之间的数量关系，并说明理由．
中，的顶点、分别在、上．垂足为且，求的度数．（2）如图②在
中，，，点、是上的任意两点，且，将绕点逆时针旋转至位置，连接，试判断线段、、之间的数量关系，并说明理由．
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较难
(0.4)
【推荐3】如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，连结AC，OA＝3，tan∠OAC
，D是BC的中点．
（2）如图2，M是线段OC上的点，OM
OC，点P是线段OM上的一个动点，经过P，D，B三点的抛物线交x轴的正半轴于点E，连结DE交AB于点F．
①将△DBF沿DE所在的直线翻折，若点B恰好落在AC上，求此时BF的长和点E的坐标；
②以线段DF为边，在DF所在直线的右上方作等边△DFG，当动点P从点O运动到点M时，点G也随之运动，请直接写出点G运动路径的长．
，D是BC的中点．
（2）如图2，M是线段OC上的点，OM
OC，点P是线段OM上的一个动点，经过P，D，B三点的抛物线交x轴的正半轴于点E，连结DE交AB于点F．①将△DBF沿DE所在的直线翻折，若点B恰好落在AC上，求此时BF的长和点E的坐标；
②以线段DF为边，在DF所在直线的右上方作等边△DFG，当动点P从点O运动到点M时，点G也随之运动，请直接写出点G运动路径的长．
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(0.4)
名校
【推荐1】如图1，矩形中，
，对角线的垂直平分线交
于点E，交于点F，垂足为O，连接
，
．
的长；
(2)如图2，动点M，N分别从B，D两点同时出发，分别沿
和
匀速运动，其中一点到达终点时另一点也随之停止运动．
①若点M的运动速度为每秒5个单位长度，点N的运动速度为每秒4个单位长度，运动时间为t秒
，则当t为何值时，以B，M，D，N四点为顶点的四边形是平行四边形？
②若点M，N两点的运动路程分别为m，n（m，
），当B，M，D，N四点为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出m，n所满足的数量关系．
中，，对角线的垂直平分线交于点E，交于点F，垂足为O，连接，．
的长；(2)如图2，动点M，N分别从B，D两点同时出发，分别沿
和匀速运动，其中一点到达终点时另一点也随之停止运动．①若点M的运动速度为每秒5个单位长度，点N的运动速度为每秒4个单位长度，运动时间为t秒
，则当t为何值时，以B，M，D，N四点为顶点的四边形是平行四边形？②若点M，N两点的运动路程分别为m，n（m，
），当B，M，D，N四点为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出m，n所满足的数量关系．
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【推荐2】如图，在直角坐标系有一等腰直角三角形
，
，
，点
在轴的负半轴上，点
在一次函数
的图象上，且点在第二象限，点在第四象限，一次函数图象交轴于点，交轴于点，．
(1)求证：
．
(2)求出点的坐标及
的长．
(3)点从匀速运动到时，点
恰好从匀速运动到，记
，
①求出关于的函数表达式．
②连结
，点关于直线对称点为
，连结
．若直线与
中某条边所在的直线平行时（不重合），求出满足条件的所有的值．
，，，点在轴的负半轴上，点在一次函数的图象上，且点在第二象限，点在第四象限，一次函数图象交轴于点，交轴于点，． (1)求证：
．(2)求出点
的坐标及的长．(3)点
从匀速运动到时，点恰好从匀速运动到，记，①求出
关于的函数表达式．②连结
，点关于直线对称点为，连结．若直线与中某条边所在的直线平行时（不重合），求出满足条件的所有的值．
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(0.4)
名校
【推荐3】△ABC与△DCE均为等边三角形，D在边AC上，连接BE．
(1)如图1，若AB＝4，CE＝2，求BE的长；
(2)如图2，若AB＞DC，在平面内将图1中△DCE绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜120°），连接BD、AE，交于点O，连接OC，在△CDE运动过程中，猜想线段AO，OC，BO之间存在的数量关系，并证明你的猜想；
(3)如图3，将△DCE绕点C顺时针旋转30°，连接BD，点F、G为直线BD上两个动点，且FG＝
，连接CF，AG．若CD＝2，AB＝
CD，求CF+FG+GA的最小值．
(1)如图1，若AB＝4，CE＝2，求BE的长；
(2)如图2，若AB＞DC，在平面内将图1中△DCE绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜120°），连接BD、AE，交于点O，连接OC，在△CDE运动过程中，猜想线段AO，OC，BO之间存在的数量关系，并证明你的猜想；
(3)如图3，将△DCE绕点C顺时针旋转30°，连接BD，点F、G为直线BD上两个动点，且FG＝
，连接CF，AG．若CD＝2，AB＝CD，求CF+FG+GA的最小值．
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(0.4)
【推荐1】综合与实践
问题情境：四边形是边长为5的菱形，连接．将
绕点按顺时针方向旋转得到
，点，旋转后的对应点分别为，．旋转角为
．，当点第一次落在对角线上时，
__________．
(2)探究证明：如图2，当
，且
时，
与交于点．试判断四边形
的形状，并说明理由．
(3)拓展延伸：如图3，连接
．在旋转过程中，当与菱形的一边平行时，且
，请直接写出线段的长．
问题情境：四边形
是边长为5的菱形，连接．将绕点按顺时针方向旋转得到，点，旋转后的对应点分别为，．旋转角为．
，当点第一次落在对角线上时，__________．(2)探究证明：如图2，当
，且时，与交于点．试判断四边形的形状，并说明理由．(3)拓展延伸：如图3，连接
．在旋转过程中，当与菱形的一边平行时，且，请直接写出线段的长．
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较难
(0.4)
名校
【推荐2】如图，在
中，
，是边的中线，过点D作
，连结
交于F，交
于M，点M恰为中点．
(1)求证：四边形
是菱形．(2)若
，
，求菱形的面积．
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，将矩形纸片进行折叠．
）如图
，则
与
的关系为： 
）如图
分别在边
，求证：四边形
是菱形．
解答题-问答题
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较难
(0.4)
名校
【推荐1】如图所示，在锐角三角形
中，
，
的面积为10.点P从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿边向终点C运动，当点P不与点B，C重合时，过点P作
，与的另一边交于点Q，取的中点R，将线段
绕点Q按逆时针方向旋转
得到线段
，连接
，设点P的运动时间为
．
(1)边上的高为_______；
(2)当点S落在边上时，求t的值；
(3)当
与重叠部分的图形是三角形时，求重叠部分的面积y与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围．
中，，的面积为10.点P从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿边向终点C运动，当点P不与点B，C重合时，过点P作，与的另一边交于点Q，取的中点R，将线段绕点Q按逆时针方向旋转得到线段，连接，设点P的运动时间为． (1)
边上的高为_______；(2)当点S落在边
上时，求t的值；(3)当
与重叠部分的图形是三角形时，求重叠部分的面积y与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围．
您最近一年使用：0次
解答题-作图题
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较难
(0.4)
名校
【推荐2】如图1，中，
，
，点D、E分别在
上，
．将
绕点A逆时针旋转
度
，使得B、D、E三点共线．
(1)直接写出：
_________________（用
表示）；
(2)若
，当
时，作
于F，在图2中画出符合要求的图形，并探究
之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)如图3，若
，
，当
时，直接写出
的最大值_________．
中，，，点D、E分别在上，．将绕点A逆时针旋转度，使得B、D、E三点共线．(1)直接写出：
_________________（用表示）；(2)若
，当时，作于F，在图2中画出符合要求的图形，并探究之间的数量关系，并证明你的结论；(3)如图3，若
，，当时，直接写出的最大值_________．
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，点
绕点B顺时针旋转，得
，点
旋转后的对应点为
，记旋转角为
时，点N的坐标为_____；
取得最小值时，在图②中画出点M的位置，并求出点N的坐标；
，连接
，在
绕点B顺时针旋转一周的过程中，
的面积是否存在最大值和最小值，若存在，请求出；若不存在，请说明理由．
