某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究
型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点
到定点
的距离
，始终等于它到定直线
的距离
（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线
为图象的准线，
叫做抛物线的准线方程．准线与
轴的交点为
．其中原点
为
的中点，
．例如，抛物线
，其焦点坐标为
，准线方程为
，其中
，
．
【基础训练】
（1）请分别直接写出抛物线
的焦点坐标和准线的方程：__________，__________；
【技能训练】
（2）如图2，已知抛物线上一点到焦点
的距离是它到
轴距离的3倍，求点坐标；
【能力提升】
（3）如图3，已知抛物线的焦点为，准线方程为．直线
，过抛物线上点作轴垂线，交直线
于点
，
，
，当
时，请直接写出点横坐标的取值范围．
型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点到定点的距离，始终等于它到定直线的距离（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线为图象的准线，叫做抛物线的准线方程．准线与轴的交点为．其中原点为的中点，．例如，抛物线，其焦点坐标为，准线方程为，其中，．【基础训练】
（1）请分别直接写出抛物线
的焦点坐标和准线的方程：__________，__________；【技能训练】
（2）如图2，已知抛物线
上一点到焦点的距离是它到轴距离的3倍，求点坐标；【能力提升】
（3）如图3，已知抛物线
的焦点为，准线方程为．直线，过抛物线上点作轴垂线，交直线于点，，，当时，请直接写出点横坐标的取值范围．
更新时间：2024-01-18 09:52:19
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解答题-问答题
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较难
(0.4)
【推荐1】在平面直角坐标系中，已知抛物线
（b、c是常数）经过点
和
，点P在这个抛物线上，不与点A、B重合，设点P的横坐标为m．
(1)求此抛物线对应的函数表达式；
(2)当
时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值；
(3)当点P在第一象限时，连接
交于点C，求
的最大值；
(4)已知点
，点
，点F在平面直角坐标系内，以点P、D、E、F为顶点构造矩形．当抛物线与矩形的边有2个交点时，直接写出m的取值范围．
（b、c是常数）经过点和，点P在这个抛物线上，不与点A、B重合，设点P的横坐标为m．(1)求此抛物线对应的函数表达式；
(2)当
时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值；(3)当点P在第一象限时，连接
交于点C，求的最大值；(4)已知点
，点，点F在平面直角坐标系内，以点P、D、E、F为顶点构造矩形．当抛物线与矩形的边有2个交点时，直接写出m的取值范围．
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较难
(0.4)
【推荐2】如图，直线
与轴、轴分别相交于点B、C，经过B、C两点的抛物线
与轴的另一个交点为A，顶点为P，且对称轴为直线
。点G是抛物线位于直线下方的任意一点，连接PB、GB、GC、AC .
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求△GBC面积的最大值；
（3）连接AC，在轴上是否存在一点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
与轴、轴分别相交于点B、C，经过B、C两点的抛物线与轴的另一个交点为A，顶点为P，且对称轴为直线。点G是抛物线位于直线下方的任意一点，连接PB、GB、GC、AC .（1）求该抛物线的解析式；
（2）求△GBC面积的最大值；
（3）连接AC，在
轴上是否存在一点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
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的图象的顶点为点D，与y轴交于点C，与x轴交于
，
两点．
的周长最小时，求点P的坐标；
是该抛物线上一点，E是直线
下方抛物线上的一动点，点E到直线
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较难
(0.4)
【推荐1】在平面直角坐标系
中，抛物线
与x轴的交点为点A，B．
(1)求抛物线的顶点坐标．
(2)
．
①求抛物线的解析式．
②已知点C的坐标为
，点D在抛物线的对称轴上，将抛物线在
的部分记为图象G，若直线
与图象G只有1个公共点，结合函数图象，求点D的纵坐标t的取值范围．
中，抛物线与x轴的交点为点A，B．(1)求抛物线的顶点坐标．
(2)
．①求抛物线的解析式．
②已知点C的坐标为
，点D在抛物线的对称轴上，将抛物线在的部分记为图象G，若直线与图象G只有1个公共点，结合函数图象，求点D的纵坐标t的取值范围．
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(0.4)
名校
【推荐2】如图，已知二次函数
的图像与轴交于
、
两点（点在点的右侧），与轴交于点
，连结
、
．
(1)求
的周长；
(2)点为二次函数的图像上一点，且位于直线下方．过点作直线
轴交直线于点．求线段
长度的最大值及此时点的坐标；
(3)将二次函数的图像向左平移1个单位长度，再向下平移
个单位长度得到新的二次函数
的图像．新二次函数的图像的顶点为点
．在轴上确定一点
，使得
是以线段
为腰的等腰三角形．请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求点的坐标的其中一种情况的过程．
的图像与轴交于、两点（点在点的右侧），与轴交于点，连结、． (1)求
的周长；(2)点
为二次函数的图像上一点，且位于直线下方．过点作直线轴交直线于点．求线段长度的最大值及此时点的坐标；(3)将二次函数
的图像向左平移1个单位长度，再向下平移个单位长度得到新的二次函数的图像．新二次函数的图像的顶点为点．在轴上确定一点，使得是以线段为腰的等腰三角形．请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求点的坐标的其中一种情况的过程．
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【推荐3】综合与探究
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线W的函数表达式为y=﹣x2+2x+3，抛物线W与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，它的顶点为D，直线l经过A、C两点．
（1）求点A、B、C、D的坐标．
（2）将直线l向下平移m个单位，对应的直线为l′．
①若直线l′与x轴的正半轴交于点E，与y轴的正半轴交于点F，△AEF的面积为S，求S关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
②求m的值为多少时，S的值最大？最大值为多少？
（3）若将抛物线W也向下平移m单位，再向右平移1个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点P落在△AOC的内部（不包括△AOC的边界），请直接写出m的取值范围．
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线W的函数表达式为y=﹣x2+2x+3，抛物线W与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，它的顶点为D，直线l经过A、C两点．
（1）求点A、B、C、D的坐标．
（2）将直线l向下平移m个单位，对应的直线为l′．
①若直线l′与x轴的正半轴交于点E，与y轴的正半轴交于点F，△AEF的面积为S，求S关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
②求m的值为多少时，S的值最大？最大值为多少？
（3）若将抛物线W也向下平移m单位，再向右平移1个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点P落在△AOC的内部（不包括△AOC的边界），请直接写出m的取值范围．
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(0.4)
【推荐1】在平面直角坐标系中，抛物线
与轴交于，
两点，与直线
：
交于点、
两点．
(1)求抛物线解析式及顶点的坐标．
(2)求点的坐标，并结合图象写出不等式
的解集．
(3)将直线向下平移，在平移过程中与抛物线部分图象有交点时
包含，端点
，请直接写出
的取值范围．
中，抛物线与轴交于，两点，与直线：交于点、两点．(1)求抛物线解析式及顶点
的坐标．(2)求点
的坐标，并结合图象写出不等式的解集．(3)将直线
向下平移，在平移过程中与抛物线部分图象有交点时包含，端点，请直接写出的取值范围．
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【推荐2】如图，矩形
，
，
．点在的延长线上，
．动点从点出发，沿边以
的速度向点运动．过点作
，交于点
，过点作
于
．设动点的运动时间是
．
(1)是否存在某一时刻
，使射线
经过点？若存在求出的值，若不存在，请说明理由．(2)设四边形
的面积为
，解答下列问题：①求
与之间的函数关系式；
②若四边形
的面积不小于
，请直接写出的取值范围；
(3)当
取何值时，
有最小值？最小值是多少？
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的图象与二次函数
的图象交于点
，
．
与
时，对于x的每一个值，函数
的值．
