【推荐1】【阅读材料】小明遇到这样一个问题：如图1，点P在等边三角形内，且，，求的长．小明发现，以为边作等边三角形，连接，得到；由等边三角形的性质，可证，得；由已知，可知的大小，进而可求得的长．

（1）请回答：在图1中，______，______．
【问题解决】（2）参考小明思考问题的方法，解决下面问题：
如图2，中，，点P在内，且，求①的大小；②线段的长．

【推荐2】[问题初探】
（1）如图1，在中，．点D在外，连接，，，且．过A作于点E．则线段，，数量关系是______．
【类比分析】
（2）如图2，为等边三角形，是等腰直角三角形，其中，，是边上的中线，连接交与点F．证明：．
【学以致用】
（3）如图3，在中，，，点D在边上，过B作交延长线于点E，延长至点F，连接，使，连接交于点G，若，，则的面积为______．

【推荐3】如图，在中，，点是的中点，点在上，，，垂足分别为，连接．
   
(1)求证：；
(2)求证：是等腰直角三角形；
(3)试判断线段之间有何数量关系？直接写出你的结论．

【推荐1】在矩形ABCD的CD边上取一点E，将沿BE翻折，得到．

(1)如图1，点F恰好在AD上，若，求出AB：BC的值．
(2)如图2，E从C到D的运动过程中．
①若，，的角平分线交EF的延长线于点M，求M到AD的距离：
②在①的条件下，E从C到D的过程中，直接写出M运动的路径长．

【推荐2】数学活动课上，老师给出如下定义：如果一个矩形的其中一边是另一边的倍，那么称这个矩形为“和谐矩形”如图，在矩形中，，则矩形是“和谐矩形”是边上任意一点，连接，作的垂直平分线分别交于点与的交点为，连接和．

(1)试判断四边形的形状，并说明理由；
(2)如图，在“和谐矩形”中，若，且是边上一个动点，把沿折叠．点落在点处，若恰在矩形的对称轴上，则的长为______；
(3)如图，记四边形的面积为，“和谐矩形”的面积为，且，若为常数，且，求的长．用含有的代数式表示．

【推荐3】如图，将矩形纸片折叠，点A与点D重合，点C与点B重合，将纸片展开，折痕为，在边上找一点P，沿将折叠，得到，点D的对应点为点Q.

   

问题提出：
（1）若点Q落在EF上，，连接.
①是      三角形；
②若是等边三角形，则的长为      .
深入探究：
（2）在（1）的条件下，当时，判断的形状并证明；
拓展延伸；
（3）若，，其他条件不变，当点Q落在矩形内部（包括边）时，连接，直接写出的取值范围.