【推荐1】已知数轴上的有理数，，，所对应的点，分别用，，，四个点表示．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向数轴负方向运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向数轴负方向运动，到达点后立即以每秒个单位长度的速度沿数轴返回到点，返回到点后，点和点停止运动．点和点同时出发，设运动时间为秒．

(1)当时，用含的代数式表示：点对应的数是_________，点对应的数是：_____；
(2)中点：在数轴上点表示，点表示，则点与点的中点表示的数是．在点、点运动过程中，若点始终是线段中点，当点与点重合时，求的值．
(3)在点的运动过程中，若个单位长度，求出的值．

【推荐2】已知数轴上点分别对应数为，且满足，若比的倍少．

（1）直接写出的关系式；
（2）若点为的中点，且点表示的数是，动点分别从出发，向右运动，动点的速度为每秒个单位，动点的速度为每秒个单位，设运动的时间为，
①当时，求的值；
②求的最小值．

【推荐3】如图：在中，是上一点，交于点，是线段延长线上的一点，连接，．

（1）如图1，求证：．
（2）连接，若，．
①直接写出的度数：__________；
②如图2，是线段延长线上的一点，若，．请直接写出的度数：__________．

【推荐1】如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、F、G.
(1)点F到△ABC的边_______的距离相等，点F到△ABC的顶点______的距离相等.
(2)若BC=6，AD=9，求AF的值.
(3)连接CG交AD于点H，当∠BAC是多少度时，△FGH为等腰三角形？
       

【推荐2】如图，已知直线l₁∥l₂∥l₃，且l₁，l₂之间的距离为1， l₂，l₃之间的距离为2 ，点A、C分别在直线l₂，l₁上，

（1）利用直尺和圆规作出以AC为底的等腰△ABC，使得点B落在直线l₃上（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若（1）中得到的△ABC为等腰直角三角形，求AC的长．

【推荐1】【问题提出】
对于给定三角形，如何求它的外接圆直径呢？
【初步思考】
对于任意三角形，可以分三类进行研究：直角三角形、锐角三角形和钝角三角形．由于直角三角形的斜边就是其外接圆的直径，故我们将研究的重点放在锐角三角形和钝角三角形上．下列研究以钝角三角形作为对象（可用类似方法研究锐角三角形）．
【深入研究】
规定△ABC是钝角三角形，∠A是钝角，⊙O是△ABC的外接圆，下面分4种情况求⊙O的直径（结果需用含有各情况中表示线段或角的字母的式子表示）．
（1）如图①，AB＝m，∠ABC＝α，∠ACB＝β．
思路：连接AO并延长，交⊙O于点D，连接BD．易得△ABD是直角三角形，AB＝m，∠D＝∠C＝β，此时可求出⊙O的直径AD的长．根据上述思路，直接写出⊙O直径的长．

（2）如图②，BC＝m，∠ABC＝α，∠ACB＝β．
类比（1）的思路，连接CO并延长，交⊙O于点D，连接BD，则⊙O的直径为　 　．
（3）如图③，BC＝m，AB＝n，∠ABC＝α．根据上述思路，直接写出⊙O直径的长．

（4）如图④，BC＝a，AC＝b，AB＝c．根据上述思路，直接写出⊙O直径的长．

【推荐2】如图，已知线段，点为平面内一动点，连接，，若，，以为边作等边（点，在同则），连接．
   
(1)若，，求证：．
(2)当时，判断的形状，并说明理由．
(3)当点在平面上运动时，探究：满足什么条件使得恒成立．并给予证明．

【推荐3】某校数学活动小组在一次活动中．对一个数学问题作如下探究．
【问题发现】
（1）如图①，在等边，中，点P是边上一点，且，连接，以为边作等边，连接，求的长为______；
【问题提出】
（2）如图②，在等腰，中，，点 P 是边上任意一点，以为腰作等腰 ，使 ，，连接，求证：；
【问题解决】
（3）如图③，在正方形中，点P 是边上一点，以为边作正方形，点Q是正方形的对称中心，连接，若正方形的边长为，，求正方形的边长．