【推荐2】如图，在等腰直角和等腰直角，，M为的中点，连接，过B作的延长线于点S．

(1)求证：；
(2)若，，，则四边形的面积为______．（直接写出结果）

【推荐3】【问题提出】
如图1，在正方形中，点E，F分别在边上，且，连接．探究线段之间的数量关系．
【方法感悟】
（1）小明组同学利用构造全等三角形的方法探究三条线段的关系：如图2，延长到点G，使，连接，先证明，再证明，从而得到正确结论．小明组同学的结论是___________；
小亮组同学对小明组构造全等三角形的环节提出了不同的看法，借助旋转三角形的方式探究问题：将绕点A顺时针旋转90°得到，再证明，从而得到与小明组相同的结论．

【方法迁移】
（2）如图3，在中，，沿边翻折得到，点B的对应点为点D，点E，F分别在边上，且．试猜想线段之间的数量关系，并证明你的猜想．
【问题拓展】
（3）如图4，在四边形ABCD中，，点E，F分别在边上，且，试猜想当与满足什么关系时，可使得．请直接写出你的猜想．
（4）如图5，在四边形中，，，与为对角线，．若，，求的长．

【推荐1】已知内接于，是弧上一点，连接交于点，．
(1)如图1，求证：平分；

(2)如图2，连接，交于点，求证：；

(3)如图3，在(2)的条件下，是的直径，，过点作于，交于点，延长交于点，射线交于点，连接交于点，若，求的长．

【推荐2】如图，将的边绕点逆时针旋转得到线段，连接．

(1)如图1，连接，若，，，，求的长；
(2)如图2， 点在上， 且满足，连接，点为上一点，连接交于点，若， ， 求证；
(3)如图 3， 若，，，点在直线上且满足， 将沿虚线折叠使得点的对应点落在上，连接与折痕交于点，请直接写出最小时，点到的距离．

【推荐3】在中，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．

(1)如图1，若，，，求线段的长度．
(2)如图2，点为线段的中点，连接，若，猜想，，的数量关系．
(3)如图3，当时，过点作射线的垂线，垂足为点．点为直线上的一个动点，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，取的中点为点，连接，当线段取得最小值时，将沿直线翻折至所在平面内得到，过点作线段的垂线，垂足为点，连接，直接写出的值．