【问题引入】对于数轴上的线段
和点
（点不在线段上），给出如下定义：
为线段上任意一点，我们把，两点间距离的最小值称为点关于线段的“靠近距离”，记作
；把，两点间距离的最大值称为点关于线段的“远离距离”，记作
．
已知点
表示的数为
，点
表示的数为2．
若点表示的数为3，如图，则
，
．
【问题解决】
（1）若点表示的数为
，则
_____，
_____；
（2）①若点表示的数为
，
，则的值为______；
②若点表示的数为
，
，则的值为______；
【问题迁移】
（3）若点
和点
为数轴上的两点（点和点均不在线段上），点表示的数为
，点表示的数为
，
表示点关于线段的“靠近距离”，
表示点关于线段的“远离距离”．若是的3倍，求的值．
和点（点不在线段上），给出如下定义：为线段上任意一点，我们把，两点间距离的最小值称为点关于线段的“靠近距离”，记作；把，两点间距离的最大值称为点关于线段的“远离距离”，记作．已知点
表示的数为，点表示的数为2．若点
表示的数为3，如图，则，． 【问题解决】
（1）若点
表示的数为，则_____，_____；（2）①若点
表示的数为，，则的值为______；②若点
表示的数为，，则的值为______；【问题迁移】
（3）若点
和点为数轴上的两点（点和点均不在线段上），点表示的数为，点表示的数为，表示点关于线段的“靠近距离”，表示点关于线段的“远离距离”．若是的3倍，求的值．
更新时间：2024-02-24 11:55:34
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【推荐1】已知数轴上三点M，O，N对应的数分别为﹣4，0，2，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．
(1)如果点P到点M，点N的距离相等，那么x的值是 ；
(2)数轴上是否存在点P，使点P到点M，点N的距离之和是8，若存在，请直接写出x的值；若不存在，请说明理由．
(3)如果点P以每秒4个单位长度的速度从点O向左运动时，点M和点N分别以每秒1个单位长度和每秒5个单位长度的速度也向左运动，且三点同时出发，如果t秒后点P到点M与点P到点N的距离相等，那么t的值是 ．
(1)如果点P到点M，点N的距离相等，那么x的值是 ；
(2)数轴上是否存在点P，使点P到点M，点N的距离之和是8，若存在，请直接写出x的值；若不存在，请说明理由．
(3)如果点P以每秒4个单位长度的速度从点O向左运动时，点M和点N分别以每秒1个单位长度和每秒5个单位长度的速度也向左运动，且三点同时出发，如果t秒后点P到点M与点P到点N的距离相等，那么t的值是 ．
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【推荐2】如图，动点从原点出发向数轴负方向运动，同时动点也从原点出发向数轴正方向运动，
秒后，两点相距
个单位长度．已知动点、的速度比为
：
速度单位：每秒个单位长度
．
(1)动点的运动速度为每秒______ 个单位长度，动点的运动速度为______个单位长度．
(2)在数轴上标出、两点从原点出发运动秒时的位置；
(3)若表示数
的点记为
，、两点分别从
中标出的位置同时向数轴负方向运动，再经过多长时间，、两点相距
个单位？
从原点出发向数轴负方向运动，同时动点也从原点出发向数轴正方向运动，秒后，两点相距个单位长度．已知动点、的速度比为：速度单位：每秒个单位长度．(1)动点
的运动速度为每秒______ 个单位长度，动点的运动速度为______个单位长度．(2)在数轴上标出
、两点从原点出发运动秒时的位置；(3)若表示数
的点记为，、两点分别从中标出的位置同时向数轴负方向运动，再经过多长时间，、两点相距个单位？
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【推荐3】定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是
的美好点．
例如；如图1，点A表示的数为
，点B表示的数为2，表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是的美好点，但点D是
的美好点．
如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为，点N所表示的数为2．
(1)点E，F，G表示的数分别是
，
，11，其中是
美好点的是________；写出
美好点H所表示的数是___________．
(2)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，点P恰好为M和N的美好点？
的美好点．例如；如图1，点A表示的数为
，点B表示的数为2，表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是的美好点，但点D是的美好点．如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为
，点N所表示的数为2．(1)点E，F，G表示的数分别是
，，11，其中是美好点的是________；写出美好点H所表示的数是___________．(2)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，点P恰好为M和N的美好点？
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【推荐1】【阅读与思考】定义：线段上的一个点把这条线段分成相等的两条线段，则称这个点是这条线段的二等分点（中点），显然，一条线段的二等分点有1个，如图①； 若线段上的两个点把这条线段分成相等的三条线段，则称这两个点是这条线段的三等分点，如图②，点C在线段上，且
，则点C是线段的一个三等分点，显然， 一条线段的三等分点有两个； 若线段上的三个点把这条线段分成相等的四条线段，则称这三个点是这条线段的四等分点．如图③，点C在线段上， 且
， 则点C是线段的一个四等分点， 显然， 一条线段的四等分点有三个．
【类比探究】（1）一条线段的五等分点有 个；一条线段的n等分点有 个；
【知识运用】（2）如图④，已知
，点P是
的一个三等分点，求
的长．
【延伸与拓展】（3）如图⑤，已知线段
，点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度在线段上向点 B方向运动，点Q从点 B出发以每秒2个单位长度的速度在线段上向点A方向运动，设运动时间为
，若点 P、点Q同时出发，当点P是线段
的三等分点时，求t的值．
上，且，则点C是线段的一个三等分点，显然， 一条线段的三等分点有两个； 若线段上的三个点把这条线段分成相等的四条线段，则称这三个点是这条线段的四等分点．如图③，点C在线段上， 且， 则点C是线段的一个四等分点， 显然， 一条线段的四等分点有三个．【类比探究】（1）一条线段的五等分点有 个；一条线段的n等分点有 个；
【知识运用】（2）如图④，已知
，点P是的一个三等分点，求的长．【延伸与拓展】（3）如图⑤，已知线段
，点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度在线段上向点 B方向运动，点Q从点 B出发以每秒2个单位长度的速度在线段上向点A方向运动，设运动时间为，若点 P、点Q同时出发，当点P是线段的三等分点时，求t的值．
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【推荐2】已知数轴上A，B两点对应的数分别为a，b，且a，b满足|a+20|=﹣（b﹣13）2，点C对应的数为16，点D对应的数为﹣13．
（1）求a，b的值；
（2）点A，B沿数轴同时出发相向匀速运动，点A的速度为6个单位/秒，点B的速度为2个单位/秒，若t秒时点A到原点的距离和点B到原点的距离相等，求t的值；
（3）在（2）的条件下，点A，B从起始位置同时出发．当A点运动到点C时，迅速以原来的速度返回，到达出发点后，又折返向点C运动．B点运动至D点后停止运动，当B停止运动时点A也停止运动．求在此过程中，A，B两点同时到达的点在数轴上对应的数．
（1）求a，b的值；
（2）点A，B沿数轴同时出发相向匀速运动，点A的速度为6个单位/秒，点B的速度为2个单位/秒，若t秒时点A到原点的距离和点B到原点的距离相等，求t的值；
（3）在（2）的条件下，点A，B从起始位置同时出发．当A点运动到点C时，迅速以原来的速度返回，到达出发点后，又折返向点C运动．B点运动至D点后停止运动，当B停止运动时点A也停止运动．求在此过程中，A，B两点同时到达的点在数轴上对应的数．
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【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是长方形， ∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB∥CD，AB=CD=4，AD=BC=6，点A的坐标为(3，2)．动点P的运动速度为每秒a个单位长度，动点Q的运动速度为每秒b个单位长度，且
.设运动时间为t，动点P、Q相遇则停止运动.
(1) 求a，b的值；
(2) 动点P，Q同时从点A出发，点P沿长方形ABCD的边界逆时针方向运动，点Q沿长方形ABCD的边界顺时针方向运动，当t为何值时P、Q两点相遇?求出相遇时P、Q所在位置的坐标；
(3) 动点P从点A出发，同时动点Q从点D出发：
①若点P、Q均沿长方形ABCD的边界顺时针方向运动，t为何值时，P、Q两点相遇?求出相遇时P、Q所在位置的坐标；
②若点P、Q均沿长方形ABCD的边界逆时针方向运动，t为何值时，P、Q两点相遇?求出相遇时P、Q所在位置的坐标.
.设运动时间为t，动点P、Q相遇则停止运动.(1) 求a，b的值；
(2) 动点P，Q同时从点A出发，点P沿长方形ABCD的边界逆时针方向运动，点Q沿长方形ABCD的边界顺时针方向运动，当t为何值时P、Q两点相遇?求出相遇时P、Q所在位置的坐标；
(3) 动点P从点A出发，同时动点Q从点D出发：
①若点P、Q均沿长方形ABCD的边界顺时针方向运动，t为何值时，P、Q两点相遇?求出相遇时P、Q所在位置的坐标；
②若点P、Q均沿长方形ABCD的边界逆时针方向运动，t为何值时，P、Q两点相遇?求出相遇时P、Q所在位置的坐标.
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【推荐1】定义：数轴上有两点A，B，如果存在一点C，使得线段
的长度是线段
的长度的2倍，那么称点C为线段的“幸运点”．
(1)如图①，若数轴上A，B两点所表示的数分别是
和4，点C为线段上一点，且点C为线段的“幸运点”，则点C表示的数为 ；
(2)如图②，若数轴上A，B两点所表示的数分别是
和
，点C为数轴上一点，若点C为线段的“幸运点”，则点C表示的数为 ；
(3)如果数轴上点A表示的数是2001，点B表示的数是2025，动点P从点A出发以每秒2个单位的速度向右匀速运动，设运动的时间为t秒．当t为何值时，点P是线段的“幸运点”．
的长度是线段的长度的2倍，那么称点C为线段的“幸运点”．(1)如图①，若数轴上A，B两点所表示的数分别是
和4，点C为线段上一点，且点C为线段的“幸运点”，则点C表示的数为 ；(2)如图②，若数轴上A，B两点所表示的数分别是
和，点C为数轴上一点，若点C为线段的“幸运点”，则点C表示的数为 ；(3)如果数轴上点A表示的数是2001，点B表示的数是2025，动点P从点A出发以每秒2个单位的速度向右匀速运动，设运动的时间为t秒．当t为何值时，点P是线段
的“幸运点”．
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【推荐2】如图，点在线段上，点
是的中点，且
，
．
(1)求线段
的长；
(2)在线段上取一点
，使得
，求线段
的长．
在线段上，点是的中点，且，． (1)求线段
的长；(2)在线段
上取一点，使得，求线段的长．
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在线段
，
，
的长；
，求线段
的长．
