【推荐1】如图，AB是⊙O的直径, BM切⊙O于点B，点P是⊙O上的一个动点（不经过A，B两点）,过O作OQ∥AP交于点Q，过点P作于C，交的延长线于点E，连结.

（1）求证：PQ与⊙O相切；

（2）若直径AB的长为12，PC=2EC，求tan∠E的值．

【推荐2】（1）阅读理解：如图1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8．求AC边上的中线BD的取值范围，小聪同学是这样思考的：延长BD至E，使DE＝BD，连接CE．利用全等将边AB转化到CE，在△BCE中利用三角形三边关系即可求出中线BD的取值范围，在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是 　 　；中线BD的取值范围是 　 　．
（2）问题拓展：如图2，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中∠ABM＝∠NBC＝90°，连接MN，探索BD与MN的关系，并说明理由．

【推荐3】如图1，点、分别是边长为5cm的等边边、上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为1cm/s．

(1)连接、交于点，则在、运动的过程中，变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
(2)何时是直角三角形，求的值？
(3)如图2，若点、在运动到终点后继续在射线、上运动，直线、交点为，则变化吗？若变化，则说明理由，若不变，直接写出它的度数．

【推荐1】如图，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为B、C，设AB＝4，DC＝1，BC＝4．
（1）求线段AD的长．
（2）在线段BC上是否存在点P，使△APD是等腰三角形？若存在，求出线段BP的长；若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图1，等腰直角三角形中，，，点D是边上的一点，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，连结．
   
(1)①填空：线段与的数量关系是_________，位置关系是__________．
②证明上述结论成立．
(2)如图2，F是的中点，连结交于H，若，时，求的长．

【推荐3】如图，在中，，．点在边的延长线上，点在边上，且，连接、，延长与相交于点．
   
(1)试说明的理由；
(2)如果平分，试说明的理由．