【推荐2】如图（1），直线⊥轴于点P， 中，斜边AB=5，直角边AC=3，点A（0，）在轴上运动，直角边BC在直线上，将△ABC绕点P顺时针旋转90°，得到△DEF．以直线为对称轴的抛物线经过点F．
(1)求点F的坐标（用含的式子表示）
(2)①如图（2）当抛物线的顶点为点C时，抛物线恰好过坐标原点．求此时抛物线的解析式；
②如图（3）不改变①中抛物线的开口方向和形状，让点A的位置发生变化，使抛物线与线段AB始终有交点M（，）.
(ⅰ)求的取值范围；
（ⅱ）变化过程中，当变成某一个值时，点A的位置唯一确定，求此时点M的坐标．

     图（1）                                 图（2）                            图（3）

【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．

   
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交轴于点，求的最大值；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐1】在矩形中，，，点为上一点，沿直线将翻折至，点落到点处．

（1）如图（1），当点为的中点时，连接
①求证：；
②求的长．
（2）如图（2），当点在上移动时，连接，求的最小值，并说明你的理由．

【推荐2】如图，四边形是的内接四边形，为直径，点为弧的中点，延长交于点，为的切线．

(1)求证：；
(2)若，求的长．

【推荐3】在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接，交于点E，求的最大值；
（3）如图2，连接，，过点O作直线，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点，试探究：在第一象限是否存在这样的点P，Q，使．若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

   

【推荐1】已知抛物线y=x²+bx+c经过点A（﹣2，0），B（0、﹣4）与x轴交于另一点C，连接BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，P是第一象限内抛物线上一点，且S_△PBO=S_△PBC，求证：AP∥BC；
（3）在抛物线上是否存在点D，直线BD交x轴于点E，使△ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图，已知直线与抛物线相交于A，B两点，抛物线的顶点是，点B在x轴上．

（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M是y轴上一点，点N是坐标平面内一点，当以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形时，求点M的坐标．
（3）在抛物线上是否存在点Q，使，若存在，请直接写出点Q的横坐标；若不存在，说明理由．

【推荐3】如图，抛物线y＝ax ²＋bx＋c（a≠0）的顶点坐标为（2，－1），并且与y轴交于点C（0，3），与x轴交于两点A，B．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求△ACD的面积；
（3）点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F．问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似．若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．