如图，已知点A，B在数轴上分别对应
和
，点O是原点，动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发沿B→O→B的路径，以每秒5个单位长度的速度运动，设运动的时间为t秒（t＞0）．
(1)①线段
的长度为 ；
②动点P在数轴上表的数为 ；（用含t的代数式表示）
(2)当点Q沿B→O的路径运动时，用含t的代数式表示线段
的长度；
(3)当
时，求t的值；
(4)当点P，O，Q中一个点到另外两个点（其中两个点重合时除外）的距离相等时，直接写出t的值．
和，点O是原点，动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发沿B→O→B的路径，以每秒5个单位长度的速度运动，设运动的时间为t秒（t＞0）．(1)①线段
的长度为 ；②动点P在数轴上表的数为 ；（用含t的代数式表示）
(2)当点Q沿B→O的路径运动时，用含t的代数式表示线段
的长度；(3)当
时，求t的值；(4)当点P，O，Q中一个点到另外两个点（其中两个点重合时除外）的距离相等时，直接写出t的值．
更新时间：2024-03-06 08:37:02
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【推荐1】已知
，b是与表示4的点距离2个单位的点所表示的数，且
，求
.
，b是与表示4的点距离2个单位的点所表示的数，且，求.
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【推荐2】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）探究：
①数轴上表示
和
的两点之间的距离是 ；
②数轴上表示
和
的两点之间的距离是 ；
③数轴上表示
和
的两点之间的距离是 ；
（2）归纳：
一般的，数轴上表示数m与数n的两点之间的距离等于 .
（3）应用：
①如果表示数
和3的两点之间的距离是9，则可记为：
，那么
.
②若数轴上表示数的点位于
与之间，求
的值.
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①数轴上表示
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一般的，数轴上表示数m与数n的两点之间的距离等于 .
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①如果表示数
和3的两点之间的距离是9，则可记为：，那么 .②若数轴上表示数
的点位于与之间，求的值.
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【推荐3】对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”．例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”．
(1)若点A表示数﹣2，点B表示的数4，下列各数，3，2，0所对应的点分别C1，C2，C3，其中是点A，B的“联盟点”的是 ；
(2)点A表示数﹣10，点B表示的数30，P在为数轴上一个动点：
①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“联盟点”，求此时点P表示的数；
②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，直接写出此时点P表示的数为 ．
(1)若点A表示数﹣2，点B表示的数4，下列各数，3，2，0所对应的点分别C1，C2，C3，其中是点A，B的“联盟点”的是 ；
(2)点A表示数﹣10，点B表示的数30，P在为数轴上一个动点：
①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“联盟点”，求此时点P表示的数；
②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，直接写出此时点P表示的数为 ．
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【推荐1】如图，将一条数轴在原点
和点
处各折一下，得到一条“
形数轴”．图中点A表示
，点表示
，点
表示
，我们称点
和点在“形数轴”上相距
个长度单位．动点
，
同时出发，点从点出发，以单位
秒的速度沿着“形数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复到原来的速度；动点从点出发，以
单位秒的速度沿着“形数轴”的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复到原来的速度．设运动的时间为
秒．
请根据以上条件回答：
(1)动点从点运动至点需要多少时间？
(2)当，两点相遇时，求值；
(3)当，两点在“形数轴”上相距的长度与，两点在“形数轴”上相距的长度相等时，则的值为______(直接写出结果)．
和点处各折一下，得到一条“形数轴”．图中点A表示，点表示，点表示，我们称点和点在“形数轴”上相距个长度单位．动点，同时出发，点从点出发，以单位秒的速度沿着“形数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复到原来的速度；动点从点出发，以单位秒的速度沿着“形数轴”的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复到原来的速度．设运动的时间为秒．请根据以上条件回答：
(1)动点
从点运动至点需要多少时间？(2)当
，两点相遇时，求值；(3)当
，两点在“形数轴”上相距的长度与，两点在“形数轴”上相距的长度相等时，则的值为______(直接写出结果)．
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名校
【推荐2】如图，点A，B在数轴上表示的数分别是
，
．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，动点Q同时从点B出发，以每秒3个单位长度的速度向终点A运动．设点P的运动时间为t（
）秒．
(1)点P到达点B用时____________秒，点Q到达点A用时___________秒；
(2)点B与点Q之间的距离为_____________，点Q表示的数为_____________；（用含t的代数式表示）
(3)当点P与点Q之间的距离为14个单位长度时，求t的值．
，．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，动点Q同时从点B出发，以每秒3个单位长度的速度向终点A运动．设点P的运动时间为t（）秒．(1)点P到达点B用时____________秒，点Q到达点A用时___________秒；
(2)点B与点Q之间的距离为_____________，点Q表示的数为_____________；（用含t的代数式表示）
(3)当点P与点Q之间的距离为14个单位长度时，求t的值．
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名校
【推荐3】定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是
的美好点．
例如；如图1，点A表示的数为，点B表示的数为2，表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是的美好点，但点D是
的美好点．
如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为，点N所表示的数为2．
(1)点E，F，G表示的数分别是
，
，11，其中是
美好点的是________；写出
美好点H所表示的数是___________．
(2)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，点P恰好为M和N的美好点？
的美好点．例如；如图1，点A表示的数为
，点B表示的数为2，表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是的美好点，但点D是的美好点．如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为
，点N所表示的数为2．(1)点E，F，G表示的数分别是
，，11，其中是美好点的是________；写出美好点H所表示的数是___________．(2)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，点P恰好为M和N的美好点？
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解答题-问答题
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适中
(0.65)
解题方法
【推荐1】提出问题：如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，
，16就是一个智慧数，在正整数中，从1开始，第2024个智慧数是哪个数？
解决问题：小颖的方法是一个一个找出来：
，
，
，
，
，
……
小明认为小颖的方法太麻烦．他想到：设
是正整数，由于
(1)
（ ）（ ）=________，所以，除1外，所有的奇数都是智慧数．
(2)又因为
（ ）（ ）=________，所以，除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数．
还剩什么数没搞清楚呢？还剩被4除余2的数．小亮认为，如果
是智慧数，那么必有两个正整数
和
，使得
，即
①
因为
和
这两个数的奇偶性相同，所以①式中等号右边要么是4的倍数，要么是奇数，而左边一定是偶数，但一定不是4的倍数，可见等式左、右两边不相等，所以不是智慧数，即被4除余2的正整数都不是智慧数．
得出结论：由此，可得结论，把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数．
(3)应用结论：下列偶数中是智慧数的是（ ）
A、2014 B、2018 C、2020 D、2022
(4)在正整数中，从1开始，第2024个智慧数是________．
(5)拓展应用：已知智慧数按从小到大的顺序构成如下列：
3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，19，20，21，23，24，25，……
则第2025个智慧数是________．
，16就是一个智慧数，在正整数中，从1开始，第2024个智慧数是哪个数？解决问题：小颖的方法是一个一个找出来：
，，，，，……
小明认为小颖的方法太麻烦．他想到：设
是正整数，由于(1)
（ ）（ ）=________，所以，除1外，所有的奇数都是智慧数．(2)又因为
（ ）（ ）=________，所以，除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数．还剩什么数没搞清楚呢？还剩被4除余2的数．小亮认为，如果
是智慧数，那么必有两个正整数和，使得，即①因为
和这两个数的奇偶性相同，所以①式中等号右边要么是4的倍数，要么是奇数，而左边一定是偶数，但一定不是4的倍数，可见等式左、右两边不相等，所以不是智慧数，即被4除余2的正整数都不是智慧数．得出结论：由此，可得结论，把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数．
(3)应用结论：下列偶数中是智慧数的是（ ）
A、2014 B、2018 C、2020 D、2022
(4)在正整数中，从1开始，第2024个智慧数是________．
(5)拓展应用：已知智慧数按从小到大的顺序构成如下列：
3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，19，20，21，23，24，25，……
则第2025个智慧数是________．
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解答题-计算题
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适中
(0.65)
【推荐2】观察下列等式：
第一个等式：
；
第二个等式：
；
第三个等式：
；
第四个等式：
．
按上述规律，回答下列问题：
（1）请写出第六个等式：
______
______；（2）计算：
．
第一个等式：
；第二个等式：
；第三个等式：
；第四个等式：
．按上述规律，回答下列问题：
（1）请写出第六个等式：
____________；（2）计算：．
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解答题-问答题
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适中
(0.65)
【推荐1】如图，A、B、P是数轴上的三个点，P是AB的中点，
（1）若A、B所对应的数值分别为2和4，则P点对应的数值为__________；
若A、B所对应的数值分别为－2和4，则P点对应的数值为____________；
若A、B所对应的数值分别为a和b，则P点在数轴上所对应的数值为__________；
（2）当A、B所对应的数值分别为－10和20.若A、B、P三点同时一起在数轴上做匀速直线运动，A、B两点相向而行，P点在动点A和B之间做触点折返运动（即P点在运动过程中触碰到A、B任意一点就改变运动方向，向相反方向运动，速度不变，触点时间忽略不计），直至A、B两点相遇，停止运动．如果A、B、P运动的速度分别是1个单位长度/s，2个单位长度/s， 3个单位长度/s，设运动时间为t，
①求整个运动过程中，P点所运动的路程．
②假若初始时点P从点B向A运动，当点P与点B再次相遇时所有点运动停止．在这段时间内，当点P刚好在AB的中点上时，请求出此时运动时间t的值，并说明理由．
（1）若A、B所对应的数值分别为2和4，则P点对应的数值为__________；
若A、B所对应的数值分别为－2和4，则P点对应的数值为____________；
若A、B所对应的数值分别为a和b，则P点在数轴上所对应的数值为__________；
（2）当A、B所对应的数值分别为－10和20.若A、B、P三点同时一起在数轴上做匀速直线运动，A、B两点相向而行，P点在动点A和B之间做触点折返运动（即P点在运动过程中触碰到A、B任意一点就改变运动方向，向相反方向运动，速度不变，触点时间忽略不计），直至A、B两点相遇，停止运动．如果A、B、P运动的速度分别是1个单位长度/s，2个单位长度/s， 3个单位长度/s，设运动时间为t，
①求整个运动过程中，P点所运动的路程．
②假若初始时点P从点B向A运动，当点P与点B再次相遇时所有点运动停止．在这段时间内，当点P刚好在AB的中点上时，请求出此时运动时间t的值，并说明理由．
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解答题-问答题
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适中
(0.65)
【推荐2】已知数轴上的
两点分别对应有理数和
，且满足
．
(1)______，
______；
(2)若点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向数轴负半轴运动，那么运动多少秒时
？
(3)已知点在数轴上对应的数为20，若点
分别从点
出发，分别以每秒2个单位长度和每秒4个单位长度的速度向点运动，直至点到点时停止，那么当
时，求点对应的数．
两点分别对应有理数和，且满足．(1)
______，______；(2)若点
从点出发，以每秒2个单位长度的速度向数轴负半轴运动，那么运动多少秒时？(3)已知点
在数轴上对应的数为20，若点分别从点出发，分别以每秒2个单位长度和每秒4个单位长度的速度向点运动，直至点到点时停止，那么当时，求点对应的数．
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解答题-问答题
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适中
(0.65)
【推荐3】如图，已知数轴上点A，O，B对应的数分别为，0，6，点P是数轴上的一个动点．
（1）设点P对应的数为x．
①若点P到点A和点B的距离相等，则x的值是________；
②若点P在点A的左侧，则
________，
__________（用含x的式子表示）；
（2）若点P以每秒1个单位长度的速度从点O向右运动，同时点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，点B以每秒6个单位长度的速度向右运动，在运动过程中，点M和点N分别是
和
的中点，设运动时间为t．
①移动后，点P在数轴上所表示的数为________，点A在数轴上所表示的数为_________，点B在数轴上所表示的数为__________，（用含t的式子表示）；
②求
的长（用含的式子表示）；
③当
_______时，
．
参考公式：若数轴上A、B两点对应的数分别为a，b，则线段
的中点对应的数为
．
，0，6，点P是数轴上的一个动点．（1）设点P对应的数为x．
①若点P到点A和点B的距离相等，则x的值是________；
②若点P在点A的左侧，则
________，__________（用含x的式子表示）；（2）若点P以每秒1个单位长度的速度从点O向右运动，同时点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，点B以每秒6个单位长度的速度向右运动，在运动过程中，点M和点N分别是
和的中点，设运动时间为t．①移动后，点P在数轴上所表示的数为________，点A在数轴上所表示的数为_________，点B在数轴上所表示的数为__________，（用含t的式子表示）；
②求
的长（用含的式子表示）；③当
_______时，．参考公式：若数轴上A、B两点对应的数分别为a，b，则线段
的中点对应的数为．
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