【推荐1】如图，在四边形中，．

(1)如图①，点P在线段上，连接，若，且，求度数；
(2)如图②，，点P，Q分别在线段上，连接，，且满足，求的长；
(3)点P，Q分别在线段，的延长线上，点M在线段上，，，且，，请补全图形并求出k的值．

【推荐3】向阳中学有一块正方形的空地，边长为，学校计划将空地分为五部分，并给两位同学每人一张边长为的正方形硬纸板模型用来设计，下面是小明和小芳的设计方案．
小明：如图，它是由四个矩形和中间一个小正方形组成的，在该图案中矩形①与矩形②为相似矩形，中间小正方形的边长为．
小芳：如图，它是由四个全等的直角三角形以及一个小正方形组成的，其中小正方形与大正方形的相似比为．
   
(1)求小明的方案中矩形①的面积．
(2)求小芳设计的方案中，每个小直角三角形部分在学校空地的实际周长是多少米？

【推荐3】如图，平面直角坐标系中，点，，，，线段绕着某点旋转后与线段重合．

(1) ______．
(2)请直接写出该旋转中心的坐标为______．
(3)点O也绕（1）中的旋转中心，作与线段一样的旋转变换，则旋转后的对应点坐标为______．

【推荐1】在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，该抛物线的顶点为，且与轴的交点为，连接过点作轴的平行线与抛物线交于另一点，过点作的垂线．

(1)当时，求的长；
(2)如图，延长交于点，请用含的代数式表示的面积；
(3)如图，点在抛物线第一象限的图象上且位于点的左侧，连接并延长交于点，过点作垂直于，垂足为点，连接求证：．

【推荐2】嘉嘉和琪琪玩纸牌游戏：将数字1，2，3，4，5，6分别写在六张完全相同且不透明的纸牌正面．
(1)如果把六张纸牌背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，抽到的纸牌正面数字是2的倍数的概率为______；
(2)如果把写有数字1，3，5的纸牌给嘉嘉，写有数字2，4，6的纸牌给琪琪，二人均将纸牌背面朝上，洗匀．
①若嘉嘉和琪琪分别从自己手中随机抽取一张纸牌，比较纸牌正面的数字，数字大的获胜，用列表或画树形图的方法求嘉嘉获胜的概率；
②若嘉嘉和琪琪分别从自己手中随机抽取一张纸牌，纸牌正面的数字分别作为点M的横坐标和纵坐标，请直接写出点M在函数图像上的概率．