【推荐1】定义：有一组对边相等目这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”．
（1）如图①，四边形与四边形都是正方形，，求证：四边形是“等垂四边形”；
（2）如图②，四边形是“等垂四边形”，，连接，点，，分别是AD，BC，BD的中点，连接EG，FG，EF．试判定的形状，并证明；
（3）如图③，四边形是“等垂四边形”，，，试求边AB长的最小值．

【推荐2】综合与实践

问题情境：
在综合与实践课上，老师让同学们以“等腰三角形的剪拼”为主题开展数学活动，如图1，在中，，． 将沿边上的中线剪开，得到和．
操作发现：
（1）①乐学小组将图1中的以点D为旋转中心，按逆时针方向旋转，使得，得到图2，与交于点E，试判断四边形的形状，并说明理由．
②缜密小组将图1中的沿方向平移，与交于点M，与交于点N，得到图3，则四边形的形状           ．
实践探究：
（2）缜密小组又发现，当②中线段的长为时，图3中的四边形会成为正方形，求a的值．
（3）创新小组又把图1中的放到如图4所示的位置，点A的对应点与点D重合，点D的对应点在的延长线上，再将绕点D逆时针旋转到如图5所示的位置，交于点P，交AB于点Q，，此时线段的长是         ．

【推荐1】对于平面直角坐标系xOy中的图形M和点P给出如下定义：Q为图形M上任意一点，若P，Q两点间距离的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的2倍，则称点P为图形M的“二分点”．

已知点N（3，0），A（1，0），B（0，），C（，﹣1）．
(1)①在点A，B，C中，线段ON的“二分点”是 　 　；
②点D（a，0），若点C为线段OD的“二分点”，求a的取值范围；
(2)以点O为圆心，r为半径画圆，若线段AN上存在⊙O的“二分点”，直接写出r的取值范围．

【推荐2】（1）问题背景：
如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC，CD上的点且∠EAF＝60°，探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是　             　；
（2）探索延伸：
如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论　      　仍然成立（填“是”或“否”）；
（3）结论应用：
如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以45海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以60海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两地分别到达E、F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．
（4）能力提高：
如图4，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M，N在边BC上，且∠MAN＝45°．若BM＝1，CN＝3，则MN的长为            ．

【推荐3】如图，在中，，是的角平分线.的垂直平分线交AB于点O，以点O为圆心，OA为半径作，交AB于点F.

(1)求证：BC是的切线；
(2)若，，求的半径的值.