【推荐1】将抛物线C：y＝（x﹣1）²向下平移4个单位长度得到抛物线C₁，再将抛物线C₁向左平移1个单位长度得到抛物线C₂．
（1）直接写出抛物线C₁，C₂的解析式；
（2）如图（1），抛物线C₁ 与轴交于A，B两点，与轴交于C点，且D为第四象限抛物线上一点，连接AD，BC交于点E，连接BD，记BDE的面积为S₁，ABE的面积为S₂，求的最大值；
（3）如图（2），直线y＝kx（k≠0，k为常数）与抛物线C₂交于E，F两点，M为线段EF的中点；直线与抛物线C₂交于G，H两点，N为线段GH的中点．求证：直线MN经过一个定点．

【推荐2】如图，直线y＝kx﹣2与x轴，y轴分别交于B，C两点，其中OB＝1．
（1）求k的值；
（2）若点A（x，y）是第一象限内的直线y＝kx﹣2上的一个动点，当点A运动过程中，试写出△AOB的面积S与x的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，探索：
①当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是1；
②在①成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使△POA是等腰三角形？若存在，请写出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐3】在平面直角坐标系中，直线：过，，直线：．

(1)求直线的表达式；
(2)过动点且垂直于y轴的直线与，的交点分别是C，D．当时，点C位于点D右方，直接写出的取值范围．

【推荐1】如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数的图象与轴的正半轴交于点，与轴的正半轴交交于点，且tan∠OAB=2．设此二次函数图象的顶点为．

（1）求这个二次函数的解析式；
（2）将绕点顺时针旋转后，点落到点的位置．将上述二次函数图象沿轴向上或向下平移后经过点．请直接写出点的坐标和平移后所得图象的函数解析式；
（3）设（2）中平移后所得二次函数图象与轴的交点为，顶点为．点在平移后的二次函数图象上，且满足的面积是面积的倍，求点的坐标．

【推荐2】如图所示，在平面直角坐标系xoy中，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于C点，且对称轴为直线．

（1）求抛物线的表达式和顶点D的坐标；
（2）若点是y轴上的一个动点，是否存在以P、A、D三点为顶点的三角形与相似？如果存在，求点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

【推荐3】如图，已知抛物线经过点和点，与轴交于点．
   
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点是直线下方的抛物线上一动点（不点，重合），过点作轴的平行线交直线于点，设点的横坐标为．
①用含的代数式表示线段的长．
②连接，，求的面积最大时点的坐标．

【推荐1】【问题情境】在数学活动课上，同学们在课上用两张矩形纸片进行探究活动.小组同学准备了两张矩形纸片和，其中，，将它们按如图1所示的方式放置，点E，G分别落在，边上时，点E，G恰好为边，的中点.然后将矩形纸片绕点B按顺时针方向旋转，旋转角为，连接与．

【观察发现】
（1）如图2所示，当时，小组成员发现与存在的数量关系为_________；位置关系为_________；
【探索猜想】
（2）如图3所示，当时，（1）中发现的结论是否仍然成立?请说明理由；
【拓展延伸】
（3）在矩形的旋转过程中，交于点P，交于点O，连接，，是否为定值；如果是，请直接写出此定值，如果不是，请你说明理由.

【推荐2】如图1，矩形的两条对角线交于点O，点P是边上一个动点，连接，作，垂足分别是E，F，连接．
   
(1)求证：；
(2)如图2，延长交于点G，若，猜想与有怎样的数量关系，并证明你的结论；
(3)在（2）的条件下，已知，求的值．

【推荐3】如图，、是以为直径的半圆的两条切线，与半圆交于点，连接，过点作，交于点.

(1)若弧AE的度数为140º，求的度数;

(2)求证: .

【推荐1】如图，抛物线与轴的负半轴交于点，与轴交于点，连结，点在抛物线上，直线与轴交于点.
(1)求的值及直线的函数表达式；
(2)点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，连结与直线交于点，连结并延长交于点，若为的中点.
①求证：；
②设点的横坐标为，求的长(用含的代数式表示).
   

【推荐2】如图，已知点A（1,0），B（0,3），将Rt△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到Rt△COD，CD的延长线，交AB于点E，连接BC，二次函数的图象过点A、B、C.
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P是线段BC上方抛物线上的一个动点，当∠PBC=75°时，求点P的坐标；
（3）设抛物线的对称轴与x轴交于点F，在抛物线的对称轴上，是否存在一点Q，使得以点Q、O、F为顶点的三角形，与△BDE相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

【推荐3】如图，抛物线交轴交于A，两点（点A在点B的左边），交y轴于点C，连接，其中．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为线段上方抛物线上一动点，过点P作于点E，若，求点P 的坐标；
(3)过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当与相似时，点E的坐标为______．