【推荐1】（1）问题：如图①，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为　 　．

（2）探索：如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明结论；

（3）应用：如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°．若BD＝12，CD＝4，求AD的长．

【推荐1】如图，在等边中，点是边的中点，点是直线上一动点，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，．

(1)如图1，当点与点重合时．
①依题意补全图形；
②判断与的位置关系；
(2)如图2，取的中点，写出直线与夹角的度数以及与的数量关系，并证明．

【推荐2】（1） [方法探索] 如图1，在等边△ABC中，点P在△ABC内，且PA=3，PC=4，∠APC=150°，求PB的长小敏在解决这个问题时，想到了以下思路：如图1，把△APC绕着点A顺时针旋转60°得到△AP'B，连接PP'，分别证明△AP'P和△BP'P是特殊三角形，从而得解，请在此思路提示下，求出PB的长．
解：把△APC绕着点A顺时针旋转60°得到△AP'B，连接PP'，请接着写下去：
（2）[方法应用]请借鉴上述利用旋转构图的方法，解决下面问题：如图2，点P在等边△ABC外，且PA=4，PB=3，∠APB=120°，则AB=       
（3）[方法拓展]如图，已知△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AC=6，以点C为圆心，3为半径作圆，点P为⊙C上一动点，连接AP，并绕点A顺时针旋转90°得到AP'，连接CP'，则CP'的最小值为是         

【推荐3】如图①，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PE＝PA，PE交CD于F．
(1)求证：PC＝PE；
(2)求∠CPE的度数；
(3)如图②，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其它条件不变，若∠ABC＝65°，则∠CPE＝　 　度．

【推荐1】如图，已知在⊙O中，直径MN＝10，正方形ABCD的四个顶点分别在⊙O及半径OM、OP上，并且∠POM＝45°，求正方形的边长．

【推荐2】如图，在边长为2的等边三角形中，点在边上运动（不与，重合），点在边的延长线上，点在边的延长线上，．
（1）若，则______．
（2）求证：．
（3）试说明点在边上从点至点的运动过程中，的周长是否发生变化？若不变，请求出的值，若变，请求出的取值范围．

【推荐3】如图，在边长为8的等边△ABC中，点D是AB的中点，点E是平面上△ABC外一点，且DE=2，连接BE，将线段EB绕点E顺时针旋转60°得到线段EF，连接AF，CE．

                                                                    备用图
(1)判断△BEF的形状，并说明理由；
(2)求证：AF=CE；
(3)当点D，E，F在同一直线上时，请你在备用图中画出符合条件的图形，并求出此时BE的长．

【推荐1】如图1，在矩形中，点P是边上一点，连接交对角线于点E，．作线段的中垂线分别交线段，，，于点M，G，F，N．

(1)求证：；
(2)若，，求的长；
(3)如图2，在（2）的条件下，连接，求的值．