【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接，直线经过、两点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点为线段上一点，连接，过点作的垂线与过点作轴的垂线交于点，设点的横坐标为，线段的长度为，求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)在（2）的条件下，点为上一点，连接，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，若抛物线经过点，，求点的坐标．

【推荐2】已知抛物线（为常数，且）与轴交于两点（点在点的右侧），与轴交于点，经过点的直线与抛物线的另一交点为点，与轴的交点为点．

(1)如图1，若点的横坐标为3，试求抛物线的函数表达式；
(2)如图2，若，试确定的值；
(3)如图3，在（1）的情形下，连接，点为抛物线在第一象限内的点，连接交于点，当取最大值时，试求点的坐标．

【推荐1】如图1，已知线段AC∥y轴，点B在第一象限，且AO平分∠BAC，AB交y轴于点D，连接OB，OC．

（1）可以判断AOD的形状为　　三角形（直接写答案）；
（2）若OE平分∠AOB且∠B＝2∠BAO，证明：AO＝BE+OB；
（3）如图2，若点B，C关于y轴对称，AO⊥BO，点M为OA上一点，且∠ACM＝45°，点B的坐标为(3，1)，求点M的坐标．

【推荐2】在平面直角坐标系中，正比例函数的图象经过点，过点A的直线与x轴、y轴分别交于B，C两点．

(1)求正比例函数的表达式；
(2)若的面积为的面积的倍，求直线的表达式；
(3)在（2）的条件下，在线段上找一点D，使平分，求点D的坐标．

【推荐3】已知：如图1，点A (1, 0)，B(0，2)，将点B沿x轴正方向平移3个单位长度得到对应点B′，点B′ 恰在反比例函数y＝ (x＞0)的图象上．

(1)求k的值；
(2)如图2，将△AOB (点O为坐标原点)沿AB翻折得到△ACB，求点C的坐标；
(3)是否存在这样的点P，以P为位似中心，将△AOB放大为原来的两倍后得到△DEF (即△DEF∽△AOB，且相似比为2)，使得点D、F恰好在反比例函数y＝(x＞0) 的图象上?若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐1】已知，如图，在四边形中，，是的中点，是线段上的任意一点，连接，将绕点逆时针旋转得到线段．

(1)如图1，过点作的垂线，垂足为，求和的长；
(2)当，求的大小；
(3)如图2，若，求点所经过的路径弧的长（结果保留）；
(4)若点落在或边所在直线上，请直接写出的长．

【推荐3】已知：抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图（1），点P是第一象限内抛物线上的点，连接，交直线于点D．设点P的横坐标为m，，求y与m之间的函数表达式；
(3)如图（2），点Q是抛物线对称轴上的点，连接、，点M是外接圆的圆心，当的值最大时，求点M的坐标．

【推荐1】已知抛物线y=x² + 1(如图所示)．

(1)填空：抛物线的顶点坐标是(______，______)，对称轴是_____；
(2)已知y轴上一点A(0，2)，点P在抛物线上，过点P作PB⊥x轴，垂足为B．若△PAB是等边三角形，求点P的坐标；
(3)在(2)的条件下，点M在直线AP上．在平面内是否存在点N，使四边形OAMN为菱形?若存在，直接写出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐2】综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点，与x轴交于点，连接．

(1)求抛物线的解析式；
(2)P是下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点C，过点P作轴于点D．
①求的最大值；
②连接，是否存在点P，使得线段把的面积分成两部分？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐3】抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D．已知点，．抛物线的对称轴是直线，P为抛物线上一动点，点P的横坐标为，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M．

(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
(2)当是等边三角形时，求m的值及此时三角形的边长；
(3)过点P作x轴的垂线，垂足为N，设直线交直线于点F，是否存在这样的m值，使？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．