【推荐1】如图，在和中，，，，将绕点旋转一定角度，使得点在内且点，，在同一条直线上，连接，．

(1)求证：；
(2)，
①求证：；
②求的值．

【推荐2】问题情境如图1，，，直线是经过点的直线，于，于，则．

（1）类比训练如图2，中，，，直线是经过点的任一直线，于，于，证明：．
（2）情境更换如图3，把等腰直角三角板放在黑板上画好了的平面直角坐标系内，已知直角顶点在轴正半轴上，顶点在第一象限且使其横、纵坐标始终相等．
①若另一顶点落在第四象限，求的值；
②直接写出顶点的横、纵坐标的关系．

【推荐3】如图，点F是△ABC的AC边中点，过点A作BC的平行线，与∠ABC的平分线相交于点D，E为BD的中点．

试探究：（1）AE与BD的位置关系，并给予证明；
（2）EF、AB、BC之间的数量关系，并给予证明．

【推荐1】如图，在半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD，OE⊥AC，垂足分别为D、E．
（1）当时，求线段OD的长；
（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出是哪条边，并求其长度；如果不存在，请说明理由．

【推荐2】综合与实践
莹莹复习教材时，提前准备了一个等腰三角形纸片，如图，，．为了找到重心，以便像教材上那样稳稳用笔尖顶起，她先把点B与点C重叠对折，得折痕，展开后，她把点B与点A重叠对折，得折痕，再展开后连接，交折痕于点O，则点O就是的重心．

教材重现：

如图，用铅笔可以支起一张均匀的三角形卡片．你知道怎样确定这个点的位置吗？ 在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线（median）如图，是的边上的中线．

(1)初步观察：连接，则与的数量关系是：________；
(2)初步探究：请帮助莹莹求出的面积；
(3)猜想验证：莹莹通过测量惊奇地发现，．她的发现正确吗？请说明理由．

【推荐3】在矩形中，，点是射线上一个动点，连接并延长交射线于点，将沿直线翻折到，延长与直线交于点．

   

(1)求证：；
(2)当点是边的中点时，求的长；
(3)当时，求的长．