【推荐1】如图，点O是矩形ABCD对角线的交点，过点O的两条互相垂直的直线分别交矩形于点E、F、G、H，点E在线段AB上运动，AD=4，AB=2，设AE=x，AH=y．
（1）四边形EFGH是什么特殊四边形？请说明理由；
（2）写出y关于x的关系式，并写出y的取值范围；
（3）求四边形EFGH的面积及其最值．
   

【推荐2】如图 1，将纸片沿中位线折叠，使点 A 对称点 D 落在边上， 再将纸片分别沿等腰和等腰的底边上的高线， 折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形，类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形．
   
(1)将纸片按图 2 的方式折叠成一个叠合矩形，则      ．
(2)纸片还可以按图 3 的方式折叠成一个叠合矩形，若，， 则的长为     ；
(3)如图 4，四边形 纸片满足，，，，， 小明把该纸片折叠，如图 5 得到叠合正方形，请你帮他求出、的长．

【推荐3】（1）下列关于反比例函数的性质，描述正确的有________．（填所有描述正确的选项）
A．y随x的增大而减小
B．图像关于原点中心对称
C．图像关于直线成轴对称
D．把双曲线绕原点逆时针旋转可以得到双曲线
（2）如图，直线、经过原点且与双曲线分别交于点A、B、C、D．点A、C的横坐标分别为，连接、、、．
①判断四边形的形状，并说明理由；
②若点A的横坐标，四边形的面积为S，求S与n之间的函数表达式；
③当m、n满足怎样的数量关系时，四边形是矩形？并说明理由．

【推荐1】如图，在等腰中，，．动点P从点A出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点B运动．点P出发后，过点P作交折线于点Q，点P关于点Q的对称点为点D，以点D为直角顶点向右侧作等腰直角三角形．设点P的运动时间为t秒．
   
(1)当点E落在边上时，求t的值；
(2)当最大时，求的长；
(3)设与重叠部分图形的面积为S，当与重叠部分图形不是五边形时，求S关于t的函数关系式．

【推荐2】如图①，在中，，，．点从点出发，沿方向以每秒的速度向终点运动（不与点、重合），过点作．交折线于点，以为边向右作正方形，设点的运动时间为（秒），正方形与重叠部分图形的面积为．

（1）直接写出正方形的边的长（用含的代数式表示）．
（2）当点落在边上时，求的值．
（3）求与之间的函数关系式．
（4）如图②，点运动的同时，点从点出发，沿的方向做一次往返运动，在上的速度为每秒，在上的速度为每秒，当点停止运动时，点也随之停止，连结．设将正方形分成的两部分图形面积分别为、（平方单位）（），直接写出当时的取值范围．

【推荐3】如图，AB为⊙O的直径，点C为圆外一点，连接AC、BC，分别与⊙O相交于点D、E，且，过点D作DF⊥BC于点F，连接BD、DE、AE．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）求证：△DEC是等腰三角形；
（3）若⊙O的半径为5，AC=12，求sin∠EAB的值．