【推荐1】已知：梯形中，，连接（如图1）．点沿梯形的边从点移动，设点移动的距离为，．
(1)求证：；
(2)当点从点移动到点时，与的函数关系（如图2）中的折线所示．试求的长；
(3)在（2）的情况下，点从点移动的过程中，是否可能为等腰三角形？若能，请求出所有能使为等腰三角形的的取值；若不能，请说明理由．

          

【推荐2】如图1，在平面直角坐标系中，点A、C分别在y轴和x轴上，AB∥x轴，sinC=，点P从O点出发，沿边OA、AB、BC匀速运动，点Q从点C出发，以1cm/s的速度沿边CO匀速运动．点P与点Q同时出发，其中一点到达终点，另一点也随之停止运动.设点P运动的时间为t(s)，△CPQ的面积为S(cm²)， 已知S与t之间的函数关系如图2中曲线段OE、线段EF与曲线段FG给出．
（1）点P的运动速度为     cm/s， 点B、C的坐标分别为     ，     ；
（2）求曲线FG段的函数解析式；
（3）当t为何值时，△CPQ的面积是四边形OABC的面积的？

【推荐3】已知：如图，∠MON＝90°，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，将△ABC的两个顶点A、B放在射线OM和ON上移动，作CD⊥ON于点D，记OA＝x(当点O与A重合时，x的值为0)，CD＝y．
小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整．

(1)通过取点、画图、计算、测量等方法，得到了x与y的几组值，如下表(补全表格)

x/cm	0	1	2	3	4	4.5	5
y/cm	2.4	3.0	3.5	3.9	4.0	3.9

(说明：补全表格时相关数值保留一位小数)
(2)建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．

(3)结合画出的函数图象，解决问题；当x的值为　 　时，线段OC长度取得最大值为　 　cm．

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+8与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的另一条直线交x轴负半轴于点C，且OC＝6．

(1)求直线BC的解析式；
(2)如图1，若M为线段BC上一点，且满足S_△AMB＝S_△AOB，请求出点M的坐标；
(3)如图2，设点F为线段AB中点，点G为y轴上一动点，连接FG，以FG为边向FG左侧作正方形FGQP，在G点的运动过程中，当顶点Q落在直线BC上时，求点G的坐标．

【推荐3】在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线经过点B，交x轴于点C．
(1)如图l，求点C的坐标；
   
(2)如图2，点D在线段的延长线上，过点D作轴于点H，设，的面积为，求S与t之间的函数关系式．（不要求写出自变量t的取值范围）；
   
(3)如图3，在（2）的条件下，与交于点E，连接，且，延长交x轴交于点F，点M在线段的延长线上，连接交x轴于点N，若，求线段的长．
   

【推荐2】小颖根据学习函数的经验，对函数的图像与性质进行了探究下面是小颖的探究过程，请你补充完整

(1)列表： ① ______ ；
②若，为该函数图像上不同的两点，则 ______ ；
(2)描点并画出该函数的图像；
(3)①根据函数图像可得：该函数的最大值为______ ；
②写出函数图像的两条性质：______ ；
③若方程有两个实数解，求的取值范围：______ ；
④当时的取值范围是______ ；
⑤将沿轴至少平移______ 个单位长度，能使与的函数图像无交点？

【推荐3】在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+m与y轴交于点A，与直线y＝﹣x+4交于点B（3，n），P为直线y＝﹣x+4上一点．
（1）求m，n的值；
（2）在平面直角坐标系系xOy中画直线y＝2x+m和直线y＝﹣x+4；
（3）当线段AP最短时，求点P的坐标．

【推荐1】如图①，在平面直角坐标系中，一次函数分别与x轴和y轴交于点A、点B，四边形OACB为矩形．

(1)如图②，点F在BC上，连接AF，把沿着AF折叠，点C刚好与线段AB上一点重合．
①求点F的坐标；
②请直接写出直线的解析式：______；
(2)如图③，动点在一次函数的图象上运动，点D在线段AC上，是否存在直角顶点为P的等腰直角，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐3】给出如下定义：对于⊙O的弦MN和⊙O外一点P（M，O，N三点不共线，且点P，O在直线MN的异侧），当∠MPN+∠MON＝180°时，则称点P是线段MN关于点O的关联点．图1是点P为线段MN关于点O的关联点的示意图．

在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．
（1）如图2，已知M（，），N（，﹣），在A（1，0），B（1，1），C（，0）三点中，是线段MN关于点O的关联点的是　 　；
（2）如图3，M（0，1），N（，﹣），点D是线段MN关于点O的关联点．
①∠MDN的大小为　 　；
②在第一象限内有一点E（m，m），点E是线段MN关于点O的关联点，判断△MNE的形状，并直接写出点E的坐标；
③点F在直线y＝﹣x+2上，当∠MFN≥∠MDN时，求点F的横坐标x的取值范围．