【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点C．
（1）求线段BC的长；
（2）点P为第三象限内抛物线上一点，连接BP，过点C作交x轴于点E，连接PE，求面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，以y轴为对称轴，将抛物线对称，对称后点P的对应点为点，点M为对称后的抛物线对称轴上一点，N为平面内一点，是否存在以点A、、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点N的坐标，若不存在，则请说明理由．

【推荐2】设是平面内的几何变换，它使得平面内任意一点都有唯一的对应点，从而使任何图形都能经过变换得到另一图形．在此基础上：若点的对应点是它本身，则称点是变换的不动点；若图形经过变换T后得到的图形仍然是它本身，则称图形是变换的不动图形．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，．

(1)变换：先关于轴对称，再将坐标为的点变为点．
①若点在经过变换后得到点，则　　　；
②有下列图形：
（A）过点且平行于轴的直线；
（B）开口向下，且以为顶点的抛物线；
（C）以点为圆心的半径为的圆．
其中是变换的不动图形的是　　　　；
(2)变换：先关于直线对称，再关于轴对称．
请判断点、点中哪个点经过变换后可能得到点，并求出此时的值；
(3)变换：先绕点O顺时针旋转，再绕点C逆时针旋转．
①以为圆心作半径为的圆，若上存在点，它经过变换后的对应点恰好在轴上，直接写出的取值范围；
②变换是否有不动点，若有，写出其不动点的坐标；若没有，说明理由．

【推荐1】在综合实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片，点E在射线上，现将矩形折叠，折痕为，点A的对应点记为点F．
   
(1)操作发现：如图1，若点F恰好落在矩形的边上，直接写出一个与相似的三角形；
(2)深入探究：如图2，若点F落在矩形的边的下方时，、分别交于点M、N，过点F作，，垂足分别为点G、H，当点G是的中点时，试判断与是否相似，并证明你的结论；
(3)问题解决：在（2）的条件下，若，，求的长．

【推荐2】如图，在中，点D，E分别在，上，连接，，点E为中点，连接交于点N，．
   
(1)如图1，若，，求的长
(2)如图2，延长至点M，连接，，若，求证：；
(3)如图3，延长至点M，连接，，，点为中点，连接，将沿翻折得到，点F，G分别为，上的动点（不与端点重合），连接，，连接交直线于点，当取得最小值时，直接写出的值．

【推荐3】已知，内接于，AD、BD为的弦，且．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，过B作的切线交AC的延长线于E，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接CD，若，，，求CE的长度．

【推荐2】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，．

(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点为直线下方抛物线上的一动点，过点作交于点，过点作轴的平行线交轴于点，求的最大值及此时点的坐标；
(3)如图2，将该抛物线先向左平移4个单位，再向上移3个单位，得到新抛物线，新抛物线与轴交于点，点为轴左侧新抛物线上一点，过作轴交射线于点，连接，当为等腰三角形时，直接写出所有符合条件的点的横坐标．