【推荐2】综合与实践

   

(1)问题发现：如图1，和均为等腰三角形，，，，点、、在同一条直线上，连接．
①求证：；将下列解答过程补充完整．
证明：，
________，
，
在和中，
，
，
；
②若，则的度数为________．
(2)类比探究：如图2，和均为等腰直角三角形，，点、、在同一条直线上，为中边上的高，连接．请判断、与三条线段的数量关系，并说明理由．
(3)拓展延伸：在（2）的条件下，若，，请直接写出四边形的面积．

【推荐3】概念学习
规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．
从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．
理解概念
（1）如图1，在中，，，请写出图中两对“等角三角形”．
概念应用
（2）如图2，在中，为角平分线，，．求证：为的等角分割线．
（3）在中，，是的等角分割线，直接写出的度数．

【推荐1】如图，已知是的角平分线，点是斜边上的动点，以点为圆心，长为半径的经过点，与相交于点．

   

(1)判定与的位置关系，为什么？
(2)若，．①求的半径的长；②求的长．

【推荐2】在中，，过点B的直线，D为直线BC上的一点（不与点B重合），连结AD，过点D作交MN于点E，连结AE．

(1)如图1，当点D在线段BC上时，过点D作交AB于点F，已知，求证：；
(2)如图2，当点D在线段BC上时，若，请说明线段AD与DE之间的数量关系；
(3)当点D不在线段BC上时，若，则线段AD，DE和之间的数量关系是__________．

【推荐3】如图，对于平面内小于等于的，我们给出如下定义：若点在的内部或边上，作于点，于点，则将称为点与的“点角距”，记作．如图，在平面直角坐标系中，、正半轴所组成的角为．

(1)已知点、点，则______ ，______．
(2)若点为内部或边上的动点，且满足，在图中画出点运动所形成的图形．
(3)如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过与点两点，点是、两点之间的抛物线上的动点(点可与、两点重合)，求当取最大值时点的坐标．

【推荐1】（1）知识再现
如图（1）：若点A，B在直线l同侧，A，B到l的距离分别是3和2，AB=4，现在直线l上找一点P，使AP+BP的值最小，做法如下；
作点A关于直线l的对称点A′，连接BA′，与直线l的交代就是所求的点P，线段BA′的长度即为AP+BP的最小值，请你求出这个最小值．
（2）实践应用
①如图（2），⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，则PA+PC的最小值是              ；
②如图（3），Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为（3，），点C的坐标为（1，0），点P为斜边OB上的一动点，则PA+PC的最小值为          ；
③如图（4），菱形ABCD中AB=2，∠A=120°，点P，Q，K，分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为            ；
④如图（5），在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，点D是BC边上的点，CD=，将△ABC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的最小值是      ．
（3）拓展延伸
如图（6），在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB=∠APD，保留作图痕迹，不必写出作法．

【推荐2】生活中，有人用纸条可以折成正五边形的形状，折叠过程是将图①中的纸条按图②方式拉紧，压平后可得到图③中的正五边形（阴影部分表示纸条的反面）．

（1）将两端剪掉则可以得到正五边形，若将展开，展开后的平面图形是               ；
（2）若原长方形纸条（图①）宽为2cm，求（1）中展开后平面图形的周长（可以用三角函数表示）．

【推荐3】如图所示，的直径，、为圆周上两点，且，过点作，交的延长线于点．

（1）求证：为切线；
（2）填空：①当四边形为菱形，则的度数为________；
②当时，四边形的面积为________．