【推荐1】如图，在中，，，，点为的中点，点在线段上以每秒2个单位的速度由点向点运动，同时点在线段上以每秒个单位的速度由点向点运动，设运动时间为（秒．
   
(1)用含t的代数式表示线段的长；
(2)若点P，Q的运动速度不相等，当与全等时，求a的值．

【推荐2】如图，在由6个大小相同的小正方形组成的方格中，设每个小正方形的边长均为1.
（1）如图①，，，是三个格点（即小正方形的顶点），判断与的位置关系，并说明理由；

（2）如图②，连接三格和两格的对角线，求的度数（要求：画出示意图，并写出证明过程）.

【推荐3】如图，在直角中，，，点D为中点，直角绕点D旋转，，分别与边，交于E，F两点．
   
(1)求证：是等腰直角三角形；
(2)问：吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；
(3)，两条直角边为a，b，斜边为c，则有， 若图中，求线段长度的最小值．

【推荐1】如图，在中，，E、F分别是的中点，延长至点D，使，连接交于点O．
      
(1)证明：与互相平分；
(2)若，，求的长度．

【推荐2】如图，在中，点分别为的中点，过点作交延长线于，连接，若，则的长为___________．

   

【推荐3】图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，并保留适当的作图痕迹．
   
(1)在图①中的边上确定一点D，连结，使得；
(2)在图②中的边上确定一点E，连结，使得；
(3)在图③中的边上确定一点M，边上确定一点N，连结，使得．

【推荐1】某数学兴趣小组在课外活动中，研究三角形和正方形的性质时，做了如下探究：在中，，点D为直线上一动点（点D不与B，C重合），以为边在右侧作正方形，连接．
   
(1)观察如图1，当点D在线段上时，
①与的位置关系为：___________；
②之间的数量关系为：___________；
请将结论直接写在横线上，并给予证明．
(2)数学思考
如图2，当点D在线段的延长线上时，（1）中的①，②结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给于证明．

【推荐2】如图1，E是正方形边上一点，过点C作，交的延长线于点F．

(1)求证：；
(2)如图2，若正方形边长为6，线段上有一动点M从点D出发，以1个单位长度每秒沿向A运动．同时线段上另一动点N从点B出发，以2个单位长度每秒沿向A运动，当点N到达点A后点M也停止运动．连接，点N的运动时间为t，的面积为S，求S关于t的函数关系式；
(3)如图3，连接，连接交于点M，连接并延长，交于点P，已知，求的长．

【推荐3】已知矩形ABCD，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（不写作法）
（1）如图1，点P为CD的中点，画出AB的垂直平分线l．
（2）如图2，在矩形ABCD中，以对角线AC为一边构造一个正方形ACFE，画出EF的中点M．

   

【推荐1】如图，将（为直角）沿着点到点的方向平移4个单位长度到的位置，与交于点．

(1)若，，求的长；
(2)若，，求阴影部分的面积．

【推荐2】如图，三角形ABC的顶点A，B，C都在格点（正方形网格线的交点）上，将三角形ABC向左平移2格，再向上平移3格，得到三角形（设点A、B、C分别平移到、、）

(1)请在图中画出平移后的三角形；
(2)若连接、，则这两条线段的关系是______；
(3)直接写出△ ABC 的面积______；

【推荐3】如图，在中，，将沿射线的方向平移至，连接，设与的交点为．

(1)若为的中点，求证：；
(2)若平分，求的度数．