【推荐2】若直线 y  mx  8 和 y  nx  3 都经过 x 轴上一点 B，与 y 轴分别交于 A 、C．

（1）写出 A、C 两点的坐标，A         ，C     ；
（2）若∠ABO=2∠CBO，求直线 AB 和 CB 的解析式；
（3）在（2）的条件下若另一条直线过点 B，且交 y 轴于 E，若△ABE 为等腰三角形，写点 E 的坐标（只写结果）．

【推荐3】如图，在菱形中，，．动点从点出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向点运动；点出发2秒后，动点从点出发，沿折线向点运动，在上的速度为1个单位长度秒，在上的速度为2个单位长度秒．过、两点分别作的平行线，这两条平行线在菱形上截出的阴影部分图形记作．点运动的时间为秒．

(1)直接写出的长为______．
(2)当时，G的面积是多少？
(3)设G的周长为y，当时，求y与t之间的函数关系式．
(4)若去掉G以后，剩余的两部分图形可以拼成一个轴对称四边形，直接写出t值．

【推荐1】如图，已知二次函数和二次函数图象的顶点分别为M、N ，与x轴分别相交于A、B两点（点A在点B的左边）和C、D两点（点C在点D的左边），
(1)函数的顶点坐标为             ；当二次函数L₁ ，L₂的值同时随着的增大而增大时，的取值范围是                ；
(2)当AD=MN时，求的值，并判断四边形AMDN的形状（直接写出，不必证明）；
(3)当B，C是线段AD的三等分点时，求a的值．
       

【推荐2】如图，在四边形中，，，，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动、规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为．

(1)边的长度为__________；
(2)从运动开始，当t取何值时，？
(3)是否存在t，使得是直角三角形？若存在，直接写出t值；若不存在，请说明理由．

【推荐3】如图1，将矩形放置于第一象限，使其顶点O位于原点，且点B，C分别位于x轴，y轴上． 若满足；

(1)求点A的坐标；
(2)取中点，连接，与关于所在直线对称，连接并延长， 交x轴于点P．
①求的长；
②如图2，点D位于线段上，且．点E为平面内一动点，满足， 连．请你求出线段长度的最大值．

【推荐1】知识回顾
例如，在证明三角形中位线定理时，就采用了如图①的倍长中线方式，将三角形转化为平行四边形使问题得以解决．
实践操作
如图②，在梯形中，，是腰的中点，请你延长交延长线于点，我们易证（自行补充图形）．
数学发现
如图③，在梯形中，，、分别是两腰、的中点，我们把叫做梯形的中位线．请类比三角形的中位线的性质，猜想和、有怎样的位置和数量关系？                          （用字母及符号表示） ．
证明猜想
请结合“实践操作”完成猜想的证明．
已知：
求证：
证明：
   
实际应用
如图，在中，，，是边的中点，是内一点，且 连接并延长，交于点，若，求的长．
   

【推荐3】如图1，梯形中，，，，．点P从点A出发沿以每秒1个单位的速度向点D匀速运动，点Q从点C沿以每秒2个单位的速度向点B匀速运动．点P、Q同时出发，其中一个点到达终点时两点停止运动，设运动的时间为t秒．

(1)当时，设A、B、Q、P四点构成的图形的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出定义域；
(2)设E、F为、的中点，求四边形是平行四边形时t的值．

【推荐1】已知抛物线：．点．
(Ⅰ) 求抛物线的顶点坐标；
(Ⅱ) ①若抛物线与y轴的交点为A．连接AF，并延长交抛物线于点B，求证：
②抛物线上任意一点P（）)（）．连接PF．并延长交抛物线于点Q（），试判断是否成立？请说明理由；
(Ⅲ) 将抛物线作适当的平移．得抛物线：，若时．恒成立，求m的最大值．

【推荐2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB于点D．点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．   

（1）①求线段CD的长；   
②求证：△CBD∽△ABC．
（2）设△CPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值．       
（3）是否存在某一时刻t，使得△CPQ为等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的t的值；若不存在，请说明理由．

【推荐3】在四边形ABCD中，ADBC，AB=，AD=2，DC=，tan∠ABC=2（如图）．点E是射线AD上一点，点F是边BC上一点，联结BE、EF，且∠BEF=∠DCB．

(1)求线段BC的长；
(2)当FB=FE时，求线段BF的长；
(3)当点E在线段AD的延长线上时，设DE=x，BF=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．