【推荐1】爬山能强身健体，亲近自然，陶冶情操．黄老师周末到附近的山区爬山，山的形状如图①，爬山路线示意图如图②，黄老师从山脚A出发，沿走420米到达B点，再沿到山顶C点，已知山高为360米，，，交的延长线于点F，，．（图中所有点均在同一平面内）

(1)求的长；
(2)求黄老师从山脚A点到达山顶C点共走了多少米？（结果精确到1米）．（参考数据：，，）

【推荐2】装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以为直径的半圆，，如图1和图2所示，为水面截线，为台面截线，．

（1）计算：在图1中，已知，作于点．求的长．
操作：将图1中的水面沿向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当时停止滚动，如图2．其中，半圆的中点为，与半圆的切点为，连接交于点．
（2） 探究：在图2中，操作后水面高度下降了多少？

【推荐3】如图，△是一个锐角三角形，分别以AB、AC向外作等边三角形△、△，连接BE、CD交于点F，连接AF．
（1）求证：△≌△；
（2）求证：平分∠DFE；
（3）若CD⊥AB，垂足为M，试探究FM与DM有何数量关系，并说明理由．

【推荐1】阅读下面材料，并完成相应的任务．
三等分角是古希腊三大几何问题之一．如图，任意可被看作是矩形的对角线与边的夹角，以点为端点的射线交于点，交的延长线于点．若，则是的一个三等分角．

证明：如图，取的中点，连接．
∵四边形是矩形，∴，．∴．
在中，∵点是的中点，∴，，．
……
任务一：上而证明过程中得出“”的依据是______；
任务二：完成材料证明中的剩余部分．

【推荐2】如图，在中，，E为的中点，在的延长线上取一点D，连接，取的中点F，连结，交于点M，连接．
   
(1)求证： ；
(2)若，求的度数．

【推荐3】在中，点M、N分别为边、的中点，连接、．

(1)如图1，求证：四边形是平行四边形；
(2)如图2，延长至点P，使，连接，若，请直接写出图2中所有与相等的线段（不包括）．

【推荐1】如图，在中，，是斜边的中点，是的中点．过点作交的延长线于点．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，菱形的面积为，求的长．

【推荐2】如图，在的正方形网格中，网格线的交点称为格点，点，在格点上，每一个小正方形的边长为

(1)以为边画菱形，使菱形的其余两个顶点都在格点上画出一个即可．
(2)用一句话描述你画出四边形是菱形的理由．
(3)计算你所画菱形的面积．

【推荐3】如图，中，是边上一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于，且，连接．

(1)求证：；
(2)若，试判断四边形的形状，并证明你的结论．