【推荐2】已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，按以下要求解答问题：
（1）如图1，将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA，OB交于点C，D．

①比较大小：PC______PD． (选择“>”或“<”或“=”填空）；
②证明①中的结论．
（2）将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，一直角边与边OA交于点C，且OC=1，另一直角边与直线OB，直线OA分别交于点D，E，当以P，C，E为顶点的三角形与△OCD相似时，试求的长．（提示：请先在备用图中画出相应的图形，再求的长）．

【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接，过点、作直线．

(1)求抛物线的函数解析式；
(2)点为直线下方抛物线上一动点，过点作交于点，过点作交轴于点，求的最大值及此时点的坐标；
(3)在（2）问的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点；连接，把线段沿直线平移，记平移后的线段为，当以、、为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出所有符合条件的点的坐标．

【推荐1】已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，点A，C的坐标分别为A（﹣3，0），C（1，0），tan∠BAC＝．
（1）写出点B的坐标；
（2）在x轴上找一点D，连接BD，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，如果点P从点A出发，以2cm/秒的速度沿AB向点B运动，同时点Q从点D出发，以1cm/秒的速度沿DA向点A运动．当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t．问是否存在这样的t使得△APQ与△ADB相似？如存在，请求出t的值；如不存在，请说明理由．

【推荐2】如图，在中，，，，半径为的与射线相切，切点为，且，将绕点顺时针旋转，设旋转角为
   
(1)的长为___________；
(2)求当旋转角为多少时，与相切；
(3)当落在上时，设点，的对应点分别是点，．
①画出旋转后落在射线上时的（草图即可），此时的斜边所在的直线与的位置关系是___________；
②求出的直角边被截得的弦的长．

【推荐3】如图，已知是的角平分线，点是斜边上的动点，以点为圆心，长为半径的经过点，与相交于点．

   

(1)判定与的位置关系，为什么？
(2)若，．①求的半径的长；②求的长．

【推荐1】如图，正方形的边长为12，其内部有一个小正方形，其中、、分别在、上．若，求小正方形的边长．

【推荐2】问题提出
（1）如图1，为⊙O的弦，，点是⊙O上的一个动点，且，则的最大值为          ；

问题探究
（2）如图2，在矩形中，，，以为斜边在矩形外部作直角三角形，为的中点，求的最大值；

问题解决
（3）如图3，老李家有一正方形花园，他想对其进行设计改造，种植对称的植物，使得整个花园呈现出一种平衡和谐的感觉．在正方形中，米，边上有两个点、，使得，连接、．在与区域种植花卉，是花园内一条小路，与交汇于点，在点处设计一个凉亭．连接，交于点，在处设计一口水井．老李想在与之间铺设条笔直的水管，为了节约成本，要求的长度尽可能的小，问的长度是否存在最小值？若存在，求出长度的最小值；若不存在，请说明理由．

【推荐3】问题提出
（1）如图1，在矩形中，，，是对角线上的一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，过点作于，求的长．
问题解决
（2）2022年3月我省局部发生疫情，为落实“科学防治、精准施策、分级管理”，我省某小区设计防疫区域，在道路边固定柱子（点，道路边确定一点，以为边，搭建正方形防疫区域，内部道路上设点作为记录处，分别为不同的防疫物资放置区域，设计图简化如图2所示，已知道路两边，道路宽为6m，Q为上一定点，P为上一动点，于E．请问是否存在符合设计要求且面积最小的?若存在，请求出面积最小值及此时的长；若不存在，请说明理由．
   

【推荐1】课本中有一道作业题：
有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长是多少mm？
小颖解得此题的答案为48mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题．
（1）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm？请你计算．
（2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．

【推荐3】如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120 mm，高AD=80mm，要把它加工成矩形零件PQMN，使矩形PQMN的边QM在BC上，其余两个顶点P，N分别在AB，AC上．

（1）当矩形的边PN=PQ时，求此时矩形零件PQMN的面积；
（2）求这个矩形零件PQMN面积S的最大值．