【推荐1】如图，是等腰直角三角形，，，线段可绕点在平面内旋转，．

(1)若，在线段旋转过程中，当点，，三点在同一直线上时，直接写出的长．
(2)如图，若将线段绕点按顺时针方向旋转，得到线段，连接，．
①当点的位置由外的点转到其内的点处，且，时，求的长；
②如图，若，连接，将绕点在平面内旋转，分别取，，的中点，，，连接，，，请直接写出面积的取值范围．

【推荐1】如图1，二次函数的图象交坐标轴于点，，点为轴上一动点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图2，将线段绕点逆时针旋转90得到线段．
①当点在抛物线上时，求点的坐标；
②点在抛物线上，连接，当平分时，求点P的坐标．

【推荐2】如图，和都是等腰三角形，其中，，且．

（1）如图①，连接BE、CD，求证：．
（2）如图②，连接BD、CD，若，，，，求BD的长．
（3）如图③，若，且C点恰好落在DE上，试探究CD．CE和CA之间的数量关系，并加以说明．

【推荐3】综合与实践
问题情境：
如图1，在中，，，，点在直线上运动，以为边作，使得，，．连接．当点在边上时，试判断线段，及之间的数量关系．

探究展示：勤奋小组发现，，并展示了如下论述过程：
理由如下：∵在和中，，，
．
∴，即．
在与中，

∴（依据1）．
∴（依据2）
∵，
∴．
反思交流：
（1）上述证明过程中的“依据1”，“依据2”分别是什么？
（2）如图2，缜密小组在勤奋小组的基础上继续探究，当点在延长线上时，线段，及之间的数量关系是，且与的位置关系是；请判断缜密小组的说法是否正确，若正确，请说明理由；若不正确，请把你发现的结果写出并说明理由；
(3) 如图3，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，（2）中BC，CE，CD之间存在的关系是否成立？如不成立，请直接写出BC，CE，CD之间存在的数量关系，并证明.

【推荐2】如图，四边形ABCD中，,E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相较于点F．

（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；
（2）若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积．

【推荐3】（1）问题背景 如图1，已知和为等边三角形，求证：．

（2）尝试应用 如图2，已知为等边三角形，点D是外一点，且，求线段、、的数量关系．

（3）拓展创新 如图3，点是等边外一点，若，直接写出线段的长___．

【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，，过点A的直线交于点D，交y轴与点G，的面积为面积的．

（1）求点D的坐标；
（2）过点C作，交交于F，垂足为E．求证：；
（3）若，在第一象限内是否存在点P，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图，中，，为上一点，以为直径的与相切于点，交于点，，垂足为．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．

【推荐3】如图，点C在线段AB上，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE和正方形BCMN，连结AM、BD．
（1）AM与BD的关系是：_____________________ ．
（2）如果将正方形BCMN绕点C顺时针旋转锐角α，其它不变（如图）．（1）中所得的结论是否仍然成立？请说明理由．
（3）在（2）的条件下，连接AB、DM，若AC＝4， BC＝2， 求的值．