【推荐1】如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以线段BC为直径作⊙O交AC于点D，E为AB中点，连接ED，过点C作CFAB交ED的延长线与点F．

(1)求证：直线ED是⊙O的切线；
(2)判断△CDF的形状，并说明理由；
(3)如图2，连接OF交⊙O于点P，连接BP交AC于点Q，若BPEF，AB＝6，求PQ的长．

【推荐2】综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．

(1)操作判断
操作一：对折矩形纸片，使边与边重合，展开后得到折痕；
操作二：分别在，上取点，，将四边形沿EF折叠，点，的对应点分别落在点，处，连接．
根据以上操作，结合图（），判断下列结论不成立的是（       ）
A.             B.             C.                    D.
(2)迁移探究
小航将矩形纸片换成边长为的正方形纸片，并按照（）中的方式操作，如图（）．
小航发现，此时（）中的选项，的结论均成立，请你加以证明．
的长度为__________．
(3)拓展探究
在（）的探究中，若将折叠，使点的对应点落在上，折痕分别交，于点，，如图（）．当是直角三角形时，直接写出的长．

【推荐3】定义：如果一个等腰直角三角形的一个顶点为矩形的顶点，另两个顶点分别在矩形的边上，且任何两个顶点都不在矩形的同一边上，我们称这样的等腰直角三角形为矩形的“内接优三角形”．
如图，矩形ABCD中，点E、F分别在边CD、BC上，∠AEF＝90°，AE＝EF，△AEF为矩形ABCD的内接优三角形．

(1)正方形       （填“存在”或“不存在”）内接优三角形；
(2)已知△AEF为矩形ABCD的内接优三角形．
①若AD＝4，AB＝7，求AF的长；
②设AB＝a，AD＝b（a＞b），问是否存在斜边长为b的内接优三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由；
③若△CEF的外接圆与直线AB相切，求此时的值．

【推荐1】如图，二次函数y＝a（x²+2mx﹣3m²）（其中a，m是常数a＜0，m＞0）的图象与x轴分别交于A、B（点A位于点B的右侧），与y轴交于点C（0，3），点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连结AD．过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE．
（1）求a与m的关系式；
（2）求证：为定值；
（3）设该二次函数的图象的顶点为F．探索：在x轴的正半轴上是否存在点G，连结GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．

【推荐2】定义：在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，且，，若为某个等腰三角形的腰，且该等腰三角形的底边与轴垂直，则称该等腰三角形为点，的“伴随等腰三角形”．
（1）若，为抛物线上的点，它的“伴随等腰三角形”记为，且底边，点，均在点的右侧，设点的横坐标为．
①若点在这条抛物线上，则的面积是_______．
②设，两点的纵坐标分别为，，比较与的大小；
③当底边上的高等于底边长的倍时，求点的坐标；
（2）若，是抛物线上的两点，它的“伴随等腰三角形”以为底，且点，均在点的同侧（左侧或右侧），点的横坐标是点的横坐标的倍，过点，分别作垂直于轴的直线，．设点的横坐标为，该抛物线在直线，之间的部分（包括端点）的最高点的纵坐标为，直接写出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．

【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA=4,OC=3.若抛物线经过O，A两点，且顶点在BC边上，对称轴交BE于点F，点D、E的坐标分别为（3,0），（0,1）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）猜想△EDB的形状并加以证明；
（3）点M在对称轴右侧的抛物线上，点N在x轴上，请问是否存在以点A、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．