【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，，且a，b满足，点P从B出发，以每秒2个单位的速度沿射线匀速运动，设点P的运动时间为t秒．

(1)求、的长；
(2)连接，设的面积为S，用含t的代数式表示S；
(3)过点P作直线的垂线，垂足为D，直线交x轴于点Q，在点P的运动过程中，当时，求出D点的坐标．

【推荐2】对，定义一种新的运算，规定：（其中）．已知，．
（1）求、的值；
（2）若，解不等式组．

【推荐3】如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC=60°，∠BCD=30°，以AD，AB，BC向形外作正方形，它们面积分别为S₁，S₂，S₃，若DC=2AB，S₂=27，求，．

【推荐2】如图，是的直径，切于点，交于点，平分，连接.

（1）求证:；
（2）若，，求的半径.

【推荐3】（1）数学兴趣小组同学将制作的和摆放成如图①所示的位置，且，，则AD和BE的数量关系为______；

（2）如图②，在中，，将线段CA绕点C顺时针旋转（），得到线段CD，连接AD、BD．小组同学发现无论为何值，的大小不变，请你计算这个定值，并写出计算过程；
（3）在第（2）问的基础上，在图③中作的平分线CE交BD于点F，交DA的延长线于点E，连接BE．用等式表示线段AD、CE、BE之间的数量关系；并证明．

【推荐1】本学期我们接触到了几何学上的明珠——勾股定理． 千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有国家总统，下面试举三例，一起领略其魅力．

(1)【验证】图1是由两个边长分别为、、的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成，试用两种不同的方法表示这个图形的面积，通过计算证明勾股定理；
(2)【应用】如图2，和都是等边三角形，点在内部，连接、、． 若，，，求的长；
(3)【提升】如图，在一般三角形中，，，，是边的中线． 在一般三角形中，如何用、、表示．

【推荐2】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．

(1)①勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）；
②如图1，大正方形的面积是17，小正方形的面积是5，如果将如图1中的四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，求图2中最大的正方形的面积．
(2)如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有______个；
(3)如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为、，直角三角形面积为，请判断、、的关系______．

【推荐3】一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法：如图1，火柴盒的一个侧面ABCD（是一个长方形）倒下到AEFG的位置，连接CF，此时，∠FAC＝90°，设AB＝a，BC＝b，AC＝c．请利用直角梯形BCFG的面积证明勾股定理：a²+b²＝c²．