【推荐1】如图，在中，为对角线，垂直平分分别交、的于点、，交于点．
   
(1)试说明：；
(2)试说明：；
(3)如果在中，，，有两动点、分别从、两点同时出发，沿和各边运动一周，即点自停止，点自停止，点运动的路程是，点运动的路程是，当四边形是平行四边形时，直接写出与满足的数量关系．

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点A的坐标是、顶点C的坐标是，且轴，轴，交x轴于点E．取线段的中点F，点M从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿y轴的正方向运动，点N从点E出发以每秒3个单位长度的速度沿x轴负方向运动，点M与点N同时出发，设点M的运动时间为t秒，连接．

（1）填空：点B的坐标为______，点F的坐标为_________．
（2）请探索之间的数量关系，并说明理由：
（3）试判断以点F、M、O、N为顶点的四边形的面积是否变化？若不变化，请求出其值；若变化，请说明理由．

【推荐3】如图1，被直线所截，点E是线段上一点，过点E作，连接．

(1)与平行吗？为什么？
(2)将线段沿着直线进行平移，平移后得到的对应线段记为线段，连接；
①当线段在E点下方时，如图2，若，求的度数．
②在整个平移的过程中，当时，求的度数．

【推荐1】如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点P，D是上的任意一点，连接AD，已知∠ABC＝30°．
（1）求证：AP＝AB．
（2）填空：
①当∠CAD＝　 　时，四边形AODC是菱形；
②当∠CAD＝　 　时，四边形ABDC是矩形．

【推荐2】如图，在△ABC中∠ABC＝∠ACB，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB.若过点O作直线EF和边BC平行，与AB交于点E，与AC交于点F，则线段EF和EB，FC之间有怎样的数量关系并证明？

【推荐3】如图．的边在直线l上，，且；的边也在直线l上，边与边重合，且．

(1)在图1中，直接写出与所满足的数量关系和位置关系；
(2)将沿直线l向左平移到图2的位置时，交于点Q，连接，，直接写出与所满足的数量关系和位置关系；
(3)将沿直线l向左平移到图3的位置时，的延长线交的延长线于点Q，连接．你认为（2）中所猜想的与的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出推理说明；若不成立，请说明理由．

【推荐1】如图，四边形为正方形，点、分别是、的中点．连接，，过点作于点，交于点，连接．

(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若正方形的边长为2，则线段的长度为________．

【推荐2】已知，如图1，将绕点旋转得到，延长线于点，使得，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）如图2，点是边上任意一点（点与点、不重合），连接交于点，连接，过点作，交于点．
①求证：；
②当点是边中点时，恰有（为正整数），求的值．

【推荐3】在矩形中，连接，线段是线段绕点逆时针旋转得到，平移线段得到线段（点与点对应，点与点对应），连接，分别交，于点，，连接．

(1)求证：；
(2)求的大小；
(3)若，，求矩形的面积（用含有，的式子表示）．

【推荐1】阅读下面材料：
在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图①，我们把一个四边形的四边中点依次连接起来得到的四边形是平行四边形吗？
小敏在思考问题，有如下思路：连接．


结合小敏的思路作答．
（1）若只改变图①中四边形的形状（如图②），则四边形还是平行四边形吗？说明理由；
（参考小敏思考问题方法）
（2）如图②，在（1）的条件下，若连接．
①当与满足什么条件时，四边形是矩形，写出结论并证明；
②当与满足____时，四边形是正方形．

【推荐2】如图，菱形的对角线相交于点O，，．

(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求四边形的面积；
(3)若将题设中“菱形”这一条件改为“矩形”，其余条件不变，直接写出四边形的形状．

【推荐3】如图，△ABC中，D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作平行四边形ABDE，连结AD、CE．且AB＝AC．

（1）如图1，若D为BC中点时，求证：四边形ADCE是矩形；
（2）如图2，若D不是BC中点，且∠BAC＝90°，AB＝AC＝10时，求四边形ADCE的面积．