【推荐1】如图，在矩形中，，，点M是边的中点，动点P从点A出发，沿折线运动，在上以每秒5个单位的速度运动，在上以每秒4个单位的速度向终点D运动，连结，Q是的中点．点P的运动时间为．
   
(1)用含t的代数式表示的长；
(2)当点P在上运动时，若是直角三角形，求t的值；
(3)当           时，取得最小值；
(4)当与的边平行或垂直时，直接写出t的值．

【推荐2】如图，矩形中，，是边上的一点，，是边的中点，动点从点出发，沿边以的速度向终点运动，过点作于点，连接，设动点的运动时间是．

(1)求为何值时，；
(2)设的面积为，写出与之间的函数关系式；
(3)当平分四边形的面积时，求的值．

【推荐3】（1）问题：如图1，在中，，D为 边上一点（不与点B，C重合），连接，过点A作并满足 ，连接 ． 则线段和线段的数量关系是        ，位置关系是        ．
（2）探索：如图 2，当 D 点为 边上一点（不与点 B，C 重合），与均为等腰直角三角形， 试探索线段．之间满足的等量关系，并证明你的结论；
（3）拓展：如图3，在四边形中， 若 ，请求出线段的长．