【推荐1】问题提出
（1）如图①，在中，，于点，若，求的最大值；
问题探究
（2）如图②，在四边形中，．连接，求面积的最大值．
问题解决
（3）如图③，某市郊区点外有一棵古树，点外是某市古树名木保护研究中心，且，为加强对该古树的检测和保护，拟在距古树处设置三个观测点，以形成保护区域四边形．则是否存在一个满足以上要求的面积最大的四边形？若存在，求出满足条件的四边形的最大面积；若不存在，请说明理由．（研究中心及各观测点的占地面积忽略不计）

【推荐2】如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动．连接BP，过P点作BP的垂线，与过点Q平行于y轴的直线交于点D．BD与y轴交于点E，连接PE．设点P运动的时间为．

（1）求证：．
（2）直接写出：的度数为______，点D的坐标为______（用t表示）．
（3）当t为何值时，为等腰三角形？
（4）探索周长是否随t变化而变化？若变化，说明理由；若不变，求这个定值．

【推荐3】如图所示，已知AC平分∠BAD，，于点E，判断AB、AD与BE之间有怎样的等量关系，并证明．

【推荐1】综合与实践
探索发现：
如图1，在中，，，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），点F在直线AB上，且，将AD绕点D顺时针旋转得到ED，连接BE．
（1）当点D在线段BC上，且时，AF与BE之间的数量关系为：         ；
拓展探究：
（2）如图2，当点D在线段BC上，且时，请判断AF与BE之间的数量关系，并说明理由；
解决问题：
（3）在中，若，，点D在射线BC上，将线段AD绕点D顺时针旋转得到线段ED，连接BE，当时，请直接写出BE的长．
   

【推荐2】如图，已知在中，，，点为边上的一点，点为线段上一点．

(1)如图（1），若，延长交于点，边的高交于点．
①若为的平分线，求证：；
②若为的中线，连接，求证：．
(2)如图（2），若且，过点作，交延长线于点，过点作于，求的值．

【推荐3】如图①，正方形中，，点、分别在边、上，且，此时显然，成立．
   
（1）如图②，当绕点逆时针旋转时，那么和还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（2）如图③绕点逆时针旋转，延长交于点；当，时，则线段的长为_______．

【推荐1】如图，四边形ABCD中，AD//BC，∠ADC=90°，AD=8，BC=CD=6，点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP⊥AD于点P，连接AC交NP于点Q，连接MQ，设运动时间为t秒（）．

(1)求点B到线段AC的距离；
(2)当NP经过线段AC中点时，求t的值并直接写出此时线段MQ、NQ的关系；
(3)连接AN、CP，在点M、N运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形ANCP的面积与四边形ABNP的面积相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
(4)将△AQM沿AD翻折，得到△AKM．在点M、N运动过程中，
①是否存在某时刻t，使四边形AQMK为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
②是否存在某时刻t，使四边形AQMK为正方形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图，△ABC是边长为5的等边三角形，P是线段AB上一动点，由A点向B点运动（点P与A、B点不重合），Q是BC延长线上一点，与点P同时以相同的速度由C向BC延长线方向运动（Q不与C点重合，当P点到达终点时，Q点停止运动），过P作PE⊥AC于点E，连接PQ交AC于点D．

(1)当∠APD=90°时，求AP的长         ；
(2)求证：在点P、Q运动过程中，PD与QD相等；
(3)在点P、Q运动时，线段ED的长是否发生变化？如果改变，求出变化范围；如果不变，说明理由并求出这个值．

【推荐3】如图，点是中斜边的中点，以，为边作平行四边形．请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图．（保留作图痕迹，不写作法）

(1)在图（1）中，以为边作一个平行四边形（不含矩形）；
(2)在图（2）中，以为边作一个矩形．

【推荐1】如图1，有等边和等边，将绕点A顺时针旋转，得到图2所示的图形．
   
(1)求证：；
(2)如图3，若，，且旋转角为时，求的度数；
(3)如图4，连接，并延长交于点F，若旋转至某一位置时，恰有，，求的值．

【推荐2】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tan∠BAC＝．点D在边AC上（不与A，C重合），连结BD，F为BD中点．

（1）若过点D作DE⊥AB于E，连结CF、EF、CE，如图1．设CF＝kEF，则k＝　　；
（2）若将图1中的△ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图2．求证：BE-DE＝2CF；
（3）若BC＝6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点，求线段CF长度的取值范围．

【推荐3】如图，点是中斜边的中点，以，为边作平行四边形．请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图．（保留作图痕迹，不写作法）

(1)在图（1）中，以为边作一个平行四边形（不含矩形）；
(2)在图（2）中，以为边作一个矩形．