【推荐1】如图，在矩形中，过对角线的中点O作垂线EF分别交边于点E，F，连接．

(1)求证：；
(2)判断四边形的形状，并证明；

【推荐3】如图，将矩形绕点旋转得到矩形，点在上，延长交于点．

   

(1)求证；
(2)连接，当与的比值为_______时，四边形是菱形．

【推荐1】已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点F在边AB上，BC²＝BF•BA，CF与DE相交于点G．

（1）求证：△BCF∽△DGF；
（2）求证：DF•AB＝BC•DG；
（3）当点E为AC中点时，求证：2DF•EG＝AF•DG．

【推荐2】如图，小涵和小西想要测量建筑物OP与广告牌AB的高度．首先，小涵站在D处看到广告牌AB的顶端A、建筑物OP的顶端O在一条直线上；然后，在阳光下，小西站在N处，此时他的影长为NE，同一时刻，测得建筑物OP的影长为PG，OP⊥PD，AB⊥PD，CD⊥PD，MN⊥PD．

（1）请你画出表示建筑物OP在阳光下的影子PG；
（2）已知NE=1.92m，PG=24m，BD=3m，建筑物OP与广告牌AB之间的距离PB=8.1m，小涵的眼睛到地面的距离CD=1.5m，小西的身高MN=1.6m．
①求出建筑物OP的高度；
②求出广告牌AB的高度．

【推荐3】如图，平面直角坐标系中，将含30°的三角尺的直角顶点C落在第二象限．其斜边两端点A、B分别落在x轴、y轴上且AB＝12cm
（1）若OB＝6cm．
①求点C的坐标；
②若点A向右滑动的距离与点B向上滑动的距离相等，求滑动的距离；
（2）点C与点O的距离的最大值是多少cm．