（2016辽宁省朝阳市）小颖在学习“两点之间线段最短”查阅资料时发现：△ABC内总存在一点P与三个顶点的连线的夹角相等，此时该点到三个顶点的距离之和最小．
【特例】
如图1，点P为等边△ABC的中心，将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，从而有DE=PC，连接PD得到PD=PA，同时∠APB+∠APD=120°+60°=180°，∠ADP+∠ADE=180°，即B、P、D、E四点共线，故PA+PB+PC=PD+PB+DE=BE．在△ABC中，另取一点P′，易知点P′与三个顶点连线的夹角不相等，可证明B、P′、D′、E四点不共线，所以P′A+P′B+P′C＞PA+PB+PC，即点P到三个顶点距离之和最小．
【探究】
(1)如图2，P为△ABC内一点，∠APB=∠BPC=120°，证明PA+PB+PC的值最小；
【拓展】
(2)如图3，△ABC中，AC=6，BC=8，∠ACB=30°，且点P为△ABC内一点，求点P到三个顶点的距离之和的最小值．
【特例】
如图1，点P为等边△ABC的中心，将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，从而有DE=PC，连接PD得到PD=PA，同时∠APB+∠APD=120°+60°=180°，∠ADP+∠ADE=180°，即B、P、D、E四点共线，故PA+PB+PC=PD+PB+DE=BE．在△ABC中，另取一点P′，易知点P′与三个顶点连线的夹角不相等，可证明B、P′、D′、E四点不共线，所以P′A+P′B+P′C＞PA+PB+PC，即点P到三个顶点距离之和最小．
【探究】
(1)如图2，P为△ABC内一点，∠APB=∠BPC=120°，证明PA+PB+PC的值最小；
【拓展】
(2)如图3，△ABC中，AC=6，BC=8，∠ACB=30°，且点P为△ABC内一点，求点P到三个顶点的距离之和的最小值．
2018九年级·全国·专题练习 查看更多[1]
（已下线）决胜2018中考压轴题全揭秘 专题19 几何变换综合题
更新时间：2018-02-25 14:36:30
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解答题-证明题
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较难
(0.4)
名校
【推荐1】问题探究：
(1)如图1，
中，
，
，
是高，求证：
．
(2)）如图2，在（1）条件下，
、
分别是
和
上的点，且
，如果
，那么四边形
的面积是__________；
(3)如图3，四边形
中，平分
，
，
，
，求
的值．
(1)如图1，
中，，，是高，求证：．(2)）如图2，在（1）条件下，
、分别是和上的点，且，如果，那么四边形的面积是__________；(3)如图3，四边形
中，平分，，，，求的值．
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解答题-证明题
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较难
(0.4)
名校
【推荐2】如图，是等边三角形，
，点P是AC边上一动点，由点A向点C运动（点P与点A，C不重合），点Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由点B向CB延长线方向运动（点Q与点B不重合），过点P作
于点E，连接PQ交AB于点D．
（1）当
时（如图1）．①求证：
；②求AP的长．
（2）如图2，在运动过程中，线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化，请说明理由．
是等边三角形，，点P是AC边上一动点，由点A向点C运动（点P与点A，C不重合），点Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由点B向CB延长线方向运动（点Q与点B不重合），过点P作于点E，连接PQ交AB于点D． （1）当
时（如图1）．①求证：；②求AP的长．（2）如图2，在运动过程中，线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化，请说明理由．
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是等边三角形，点
的中点，点
上，
.
；
的值；
，直接写出
的度数为______.
解答题-证明题
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较难
(0.4)
名校
【推荐1】在
中，
，
，是的角平分线，
于点E．
(1)如图1，连接
，求证：
是等边三角形；
(2)如图2，点N是线段
上的一点，以
为一边，在的下方作
，
交
延长线于点G．试探究
，
与数量之间的关系，并说明理由．
中，，，是的角平分线，于点E．(1)如图1，连接
，求证：是等边三角形；(2)如图2，点N是线段
上的一点，以为一边，在的下方作，交延长线于点G．试探究，与数量之间的关系，并说明理由．
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解答题-证明题
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较难
(0.4)
【推荐2】在等边中，
，点
和点分别在边，上，以为边向右侧作等边
，连接
．
(1)如图1，当点和点
重合时，试求
的度数；
(2)当点D是边的中点时，
①如图2，判断线段
与
的数量关系并证明；
②如图3，在点从点
沿运动到点
的过程中，请直接写出点的运动轨迹的长度．
中，，点和点分别在边，上，以为边向右侧作等边，连接．(1)如图1，当点
和点重合时，试求的度数；(2)当点D是边
的中点时，①如图2，判断线段
与的数量关系并证明；②如图3，在点
从点沿运动到点的过程中，请直接写出点的运动轨迹的长度．
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且满足
（其中
）．
，试判断线段
之间的数量关系并证明；
交于点
．线段
轴正半轴于点
，
，
，
，
．求证：
．
解答题-问答题
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较难
(0.4)
【推荐1】如图，Rt，
，
，
．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A→C→B向终点B运动．当点P与点A不重合时，过点P作
于点D，将线段PD绕点P顺时针旋转90°得到线段PE，连接DE．设运动时间为x秒，
和重叠部分的图形面积为y．
(1)当点E在BC上时，x＝______；
(2)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
(3)当直线CE将的面积分成1∶2两部分时，直接写出x的值．
，，，．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A→C→B向终点B运动．当点P与点A不重合时，过点P作于点D，将线段PD绕点P顺时针旋转90°得到线段PE，连接DE．设运动时间为x秒，和重叠部分的图形面积为y．(1)当点E在BC上时，x＝______；
(2)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
(3)当直线CE将
的面积分成1∶2两部分时，直接写出x的值．
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解答题-证明题
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较难
(0.4)
【推荐2】在中，
，
，点D是直线AC右侧一点，且
，连接BD．将
绕点A顺时针旋转
得到
，连接DE．
(1)观察猜想，如图1，当
时，AD、CD、BD的数量关系是_______；
(2)类比探究，如图2，当
时，试判断（1）中的结论是否仍然成立．若成立，请说明理由；若不成立，请写出线段AD，BD，CD之间的数量关系，并加以证明．
(3)拓展应用，如图3，在矩形ABCD中，
，
，EP是
的中位线，将
绕点A在平面内自由旋转，当
为直角三角形时，直接写BE的长．
中，，，点D是直线AC右侧一点，且，连接BD．将绕点A顺时针旋转得到，连接DE．(1)观察猜想，如图1，当
时，AD、CD、BD的数量关系是_______；(2)类比探究，如图2，当
时，试判断（1）中的结论是否仍然成立．若成立，请说明理由；若不成立，请写出线段AD，BD，CD之间的数量关系，并加以证明．(3)拓展应用，如图3，在矩形ABCD中，
，，EP是的中位线，将绕点A在平面内自由旋转，当为直角三角形时，直接写BE的长．
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，
沿对角线
交AD于点F．
的长；拓展提升：
沿着
落在线段
得到
，连接
能否为等腰三角形？若能，请直接写出
解答题-证明题
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较难
(0.4)
【推荐1】如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连AF
取AF的中点M，EF的中点N，连接MD、MN．
(1)请判断MD与MN之间的数量关系，直接写出结论；
(2)将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°得到图2，其他条件不变，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
(3)连接DN，若AB＝3，CE＝2，将图1中的直角三角板ECF绕点C在平面内自由旋转，其他条件不变，请直接写出△DMN面积的最大值和最小值．
取AF的中点M，EF的中点N，连接MD、MN．(1)请判断MD与MN之间的数量关系，直接写出结论；
(2)将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°得到图2，其他条件不变，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
(3)连接DN，若AB＝3，CE＝2，将图1中的直角三角板ECF绕点C在平面内自由旋转，其他条件不变，请直接写出△DMN面积的最大值和最小值．
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解答题-问答题
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较难
(0.4)
【推荐2】在
和
中，
，
，
，将绕点旋转任意角度，连接，
．
(1)完成填空：如图①，当点恰好在线段上时，线段与的数量关系是______，位置关系是_______．
(2)如图②，直线与直线交于点
．
①（1）中的两个结论是否仍然成立？请说明理由．
②若
，
，请直接写出在旋转过程中，线段
长度的取值范围______
和中，，，，将绕点旋转任意角度，连接，．(1)完成填空：如图①，当点
恰好在线段上时，线段与的数量关系是______，位置关系是_______．(2)如图②，直线
与直线交于点．①（1）中的两个结论是否仍然成立？请说明理由．
②若
，，请直接写出在旋转过程中，线段长度的取值范围______
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交
的中点，连接
．
与
有何关系，并说明理由；
绕点B顺时针旋转90°，得到图②，连接
