【推荐1】如图，∠A=∠B=40°，P为AB中点，点M为射线AC上（不与点A重合）的任意一点，连接MP，并使MP的延长线交射线BD于点N，设∠BPN=α．

（1）求证：APMBPN；
（2）当α等于多少度时，以A、M、B、N为顶点的四边形是菱形？

【推荐2】如图，中对角线，相交于点O，点E，F是对角线的三等分点，连接，，，．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)①在中添加一个条件______，使四边形是矩形；
②在中添加一个条件______，使四边形AECF是菱形，并选取其中一个小题说明理由．

【推荐3】如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AD交AB于E，交AC于F．
求证：四边形AEDF是菱形．

【推荐1】如图，是的内接三角形，于点D．

下面是借助直尺，画出中的平分线的步骤：
①延长OD交于点M；
②连接AM交BC于点N．
所以．
即线段AN为所求中的平分线．
(1)依据题意，补全图形：
(2)请回答，得到的两个主要依据是___________．（填写序号）
①垂直于弦的直径平分弦所对的劣弧； ②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦；
③直径所对的圆周角是直角；               ④等弧所对的圆周角相等．

【推荐2】如图，是的直径，平分，交于点D，过点D作直线，交的延长线于点E，交的延长线于点F．

   

(1)求证：是的切线；
(2)过点O作，交于点H，连接，若，，求的半径长．

【推荐3】已知内接于，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）．

(1)如图1，是边的中点，请画出的平分线；
(2)如图2，直线与相切于点，且，请画出的平分线，并说明你的理由．