【推荐1】已知在中，，，，以边为直径作，与边交于点，点为边的中点，连接．

(1)求证：是的切线；
(2)点为直线上任意一动点，连接．当时，求的长；

【推荐2】如图，在中，以为直径作交于点D，过点D作，垂足为E，延长交于点F，是的切线．

(1)求证：，
(2)若，，求的半径．

【推荐3】如图，为的直径， 弦，是延长线上一点，．

(1)求证：是的切线；
(2)求证：

【推荐1】如图，是的直径，是的弦，点是外一点，．

（1）求证：是的切线；
（2）若，且，，求的面积．

【推荐2】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连接AC，过上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连接AE交CD于点F，且EG＝FG，连接CE.
(1)求证：△ECF∽△GCE；
(2)求证：EG是⊙O的切线；

【推荐3】如图，已知AB是⊙O的直径，BC、EF是⊙O的弦，且EF垂直AB于点G，交BC于点H，CD与FE延长线交于D点，CD＝DH．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若H为BC中点，AB＝10，EF＝8，求CD的长．

【推荐1】如图，AB，AC是⊙O的弦，过点C作CE⊥AB于点D，交⊙O于点E，过点B作BF⊥AC于点F，交CE于点G，连接BE．
（1）求证：BE＝BG；
（2）过点B作BH⊥AB交⊙O于点H，若BE的长等于半径，BH＝4，AC＝4，求CD的长．

【推荐2】如图，在正方形中，是边上的动点（与点、不重合），且，于点，与的延长线交于点，连接、．

（1）求证：①；②；
（2）若，在点运动过程中，探究：
①线段的长度是否改变？若不变，求出这个定值；若改变，请说明理由；
②当为何值时，为等腰直角三角形．

【推荐3】爱好思考的小实在探究两条直线的位置关系查阅资料时发现，两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”，如图1、图2、图3中，AF、BE是△ABC的中线，AF⊥BE于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”，设BC＝a，AC＝b，AB＝c．

(1)【特例探究】
①如图1，当tan∠PAB＝1，时，a＝______，b＝______．
②如图2，当∠PAB＝30°，c＝4时，a＝______，b＝______．
(2)【归纳证明】
请你观察（1）中的计算结果，猜想、、三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．
(3)【拓展证明】
如图4，在△ABC中，，，D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，连结DE并延长至点G，使得GE＝DE，连结BG．若BG⊥AC于点M时，求GF的长．