【推荐1】如图1，菱形中，，．点为射线上一动点，在射线上取一点，连接，，使．作的外接圆，设圆心为．

(1)当圆心在上时，___________；
(2)当点在边上时，
①判断与的位置关系，并证明；
②当为何值时，有最大值？并求出最大值；
(3)如图2，连接，若，则；将优弧沿翻折交射线于点，则的弧长___________．

【推荐3】如图，是的直径，点在线段的延长线上，且，点在上，且．

(1)求证：是的切线；
(2)若为圆上任一动点，的半径为时，当弧长为         时，四边形为菱形，当弧长为         时，四边形为矩形．

【推荐1】如图，是的直径，，的弦于点，．过点作的切线交的延长线于点，连接．

   

(1)求证：平分；
(2)为上一点，连接交于点，若，求的长．

【推荐3】如图（1），在平面直角坐标系中，矩形ABCO，B点坐标为（4，3），抛物线y＝x²＋bx＋c经过矩形ABCO的顶点B、C，D为BC的中点，直线AD与y轴交于E点，与抛物线y＝x²＋bx＋c交于第四象限的F点．

（1）求该抛物线解析式与F点坐标；
（2）如图，动点P从点C出发，沿线段CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动；
同时，动点M从点A出发，沿线段AE以每秒个单位长度的速度向终点E运动．过
点P作PH⊥OA，垂足为H，连接MP，MH．设点P的运动时间为t秒．
①问EP＋PH＋HF是否有最小值，如果有，求出t的值；如果没有，请说明理由．
②若△PMH是等腰三角形，求出此时t的值．

【推荐1】已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4．D是边AB的中点，点E为边AC上的一个动点（与点A、C不重合），过点E作EF∥AB，交边BC于点F．联结DE、DF，设CE=x．

（1）当x =1时，求△DEF的面积；
（2）如果点D关于EF的对称点为D’，点D’ 恰好落在边AC上时，求x的值；
（3）以点A为圆心，AE长为半径的圆与以点F为圆心，EF长为半径的圆相交，另一个交点H恰好落在线段DE上，求x的值．

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B的坐标为，，分别落在x轴和y轴上，将绕点O逆时针旋转，使点B落在y轴上，得到，与相交于点F，反比例函数的图象经过点F，交于点G．

(1)求k的值；
(2)若点P在坐标轴上运动，求动点P的坐标，使．

【推荐1】如图，在中，，，D为的中点，点E为平面内一点，连接，将经点D顺时针旋转，点E的对应点为F，连接，，．

(1)如图1，当点E在边上时，请直接写出线段，之间的数量关系______，位置关系______；
(2)如图2，当点E在内部时，判断（1）中结论是否依然成立，并说明理由；
(3)，，若A，E，F三点共线，请直接写出线段的值．

【推荐2】如图，在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，EF∥AB交AD于点F，连接BF．

（1）如图1，若AB＝4，DE＝，求BF的长；
（2）如图2．连接AE，交BF于点H，若DF＝HF＝2，求线段AB的长；
（3）如图3，连接BF，AB＝3，设EF＝x，△BEF的面积为S，请用x的表达式表示S，并求出S的最大值；当S取得最大值时，连接CE，线段DB绕点D顺时针旋转30°得到线段DJ，DJ与CE交于点K，连接CJ，求证：CJ⊥CE．

【推荐3】综合实践
问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究．如图1，在“中，，，分别取，的中点D，E，作．如图2所示，将绕点A逆时针旋转，连接，．

(1)探究发现：旋转过程中，线段和的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明．
(2)性质应用：如图3，当所在直线首次经过点B时，求的长．
(3)延伸思考：如图4，在中，，，，分别取，的中点D，E．作，将绕点B逆时针旋转，连接，．当边平分线段时，求的值．