【推荐1】在平面直角坐标系中，抛物线．
(1)当抛物线过点时，求抛物线的表达式；
(2)求这个二次函数的顶点坐标（用含m的式子表示）；
(3)若抛物线上存在两点和，其中．当时，求m的取值范围．

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和，与y轴交于点C．

(1)求这个抛物线的表达式；
(2)如果点D是抛物线位于第三象限上一点，交x轴于点E，且E为的中点．
①求D点坐标；
②点P在x轴上，如果，求点P的坐标．

【推荐3】在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于，两点．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，点，连接．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点是线段上一点，过点作轴，交抛物线于点，交线段于点，点是直线上一点，连接，，当的周长最大时，点的坐标为，周长的最大值为______．
(3)如图2，已知．将抛物线上下平移，设平移后的抛物线在对称轴右侧部分与直线交于点，连接，当是等腰三角形时，抛物线的平移距离d的值为______．

【推荐1】我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”．如图所示，点、、、分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点的坐标为，为半圆的直径，半圆圆心的坐标为，半圆半径为．

（1）求“蛋圆”抛物线部分的解析式及“蛋圆”的弦的长；
（2）已知点是“蛋圆”上的一点（不与点，点重合），点关于轴的对称点是点，若点也在“蛋圆”上，求点坐标；
（3）点是“蛋圆”外一点，满足，当最大时，直接写出点的坐标．

【推荐3】如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．

（1）求该抛物线的解析式及顶点M坐标；
（2）求△BCM面积与△ABC面积的比；
（3）若P是x轴上一个动点，过P作射线PQ∥AC交抛物线于点Q，随着P点的运动，在抛物线上是否存在这样的点Q，使以A，P，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐1】如图，在直角梯形AOCB中，AB∥OC，∠AOC=90°，AB=1，AO=2，OC=3，以O为原点，OC、OA所在直线为轴建立坐标系．抛物线顶点为A，且经过点C．点P在线段AO上由A向点O运动，点O在线段OC上由C向点O运动，QD⊥OC交BC于点D，OD所在直线与抛物线在第一象限交于点E．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点E′是E关于y轴的对称点，点Q运动到何处时，四边形OEAE′是菱形？
（3）点P、Q分别以每秒2个单位和3个单位的速度同时出发，运动的时间为t秒，当t为何值时，PB∥OD？

【推荐2】如图，在中，，，，点P从点A出发，以每秒5个单位的速度沿向终点C匀速运动．当点P不与点A、C重合时，过点P作交于点Q，以为边向上作正方形，设正方形与重叠部分面积为S（平方单位），点P的运动时间为t（秒）．

(1)用含t的代数式表示线段的长度为______；
(2)当点N落在线段上时，求t的值；
(3)求S与t之间的函数关系式；
(4)当点N恰好落在的角平分线上时，直接写出t的值．

【推荐3】如图，中，，，，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点B运动，过点P作交的直角边于点D，以为边向右侧作正方形．设点P的运动时间为t秒，正方形与的重叠部分的面积为S．

(1)用含t的代数式表示线段的长；
(2)求S与t的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围．