【推荐1】如图，对称轴为直线的抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且．
   
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线顶点为D，直线交y轴于E点；
①设点P为线段上一点（点P不与B、D两点重合），过点P作x轴的垂线与抛物线交于点F，求面积的最大值；
②在线段上是否存在点Q，使得？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图，在中，已知，D是斜边的中点，交于点E，连接，已知，，求的周长．
   

【推荐3】已知，在平面直角坐标系中，正方形的顶点B，A，分别在x轴和y轴的正半轴上，顶点C的坐标为，且a，b满足：，点D为边上的一个动点，将沿翻折，得到．

(1)直接写出正方形的边长；
(2)如图1，若点D为中点，延长交于点H．
①求的长；
②连并延长交于点F，求的长；
(3)如图2，若点G为上一点，且，点M为中点，连接．当点D从点O开始沿y轴负半轴运动，到取得最大值时停止，请直接写出点D运动的路径长．