【推荐1】如图1，在等边中，，动点从点出发以的速度沿匀速运动，动点同时从点出发以同样的速度沿的延长线方向匀速运动，当点到达点时，点、同时停止运动．设运动时间为，过点作于，交边于，线段的中点为，连接．

(1)当时，求的值；
(2)在点、运动过程中，点、也随之运动，线段的长度是否会发生变化？若发生变化，请说明理由，若不发生变化，求的长；
(3)连接，设四边形的面积为，求与之间的函数关系式；
(4)如图2，将沿直线翻折，得，连接，当为何值时，的值最小？并求出最小值．

【推荐2】如图，△AOB的三个顶点A、O、B分别落在抛物线C₁：y＝x²＋x上，点A的坐标为(﹣4，m)，点B的坐标为(n，﹣2)．（点A在点B的左侧）
（1）则m＝　 　，n＝　 　．
（2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A′OB′，抛物线C₂：y＝ax²＋bx＋4经过A′、B′两点，延长OB′交抛物线C₂于点C，连接A′C．设△OA′C的外接圆为⊙M．
①求圆心M的坐标；
②试直接写出△OA′C的外接圆⊙M与抛物线C₂的交点坐标（A′、C除外）．

【推荐3】已知．
   
(1)如图1，按如下要求用尺规作图：
①作出的中线；
②延长至E，使，连接；（不要求写出作法，但要保留作图痕迹．）
(2)如图2，若是中线．试探究与之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，若是的中线，过点B作于E，交于点F，连接．若，求的长．

【推荐1】综合与实践
问题背景
数学小组在一次课外学习交流时，组内一同学提出如下问题：在△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC边上一点，但不与点B，点C重合，过点D作DE⊥AB于点E．连接AD，M为AD的中点，连接EM，CM．

观察发现
（1）如图1，EM与CM之间的数量关系是　 ；
思考分享
（2）如图2，将△BDE绕点B顺时针旋转，其他条件不变，则（1）中的结论还成立，请证明．
小明是这样思考的：延长DE至点D'，使得ED′＝DE，连接AD′运用三角形中位线定理，…，按照他的思路或采用其他方法证明；
探究计算
（3）若∠ABC＝30°，AC＝4，DE＝2，在△BDE绕点B旋转一周的过程中，当直线DE经过点A时，线段AD的长为　 ．

【推荐2】如图，在中，，，于点D．点G是射线AD上一点，过G作分别交AB、AC于点E、F：
   
(1)如图①所示，若点E，F分别在线段AB，AC上，当点G与点D重合时，求证：；
(2)如图②所示，当点G在线段AD外，且点E与点B重合时，猜想AE，AF与AG之间存在的数量关系并说明理由；
(3)当点G在线段AD上时，请直接写出的最小值．
参考公式：