【推荐1】如图，⊙P与y轴相切于坐标原点O（0，0），与x轴相交于点A（5，0），过点A的直线AB与y轴的正半轴交于点B，与⊙P交于点C．
（1）已知AC=3，求点B的坐标；
（2）若AC=a，D是OB的中点．问：点O、P、C、D四点是否在同一圆上？请说明理由．如果这四点在同一圆上，记这个圆的圆心为O₁，函数的图象经过点O₁，求k的值（用含a的代数式表示）．

【推荐2】如图1，一次函数的图象与y轴交于点A，与反比例函数的图象交于点．
（1）______；______；
（2）点C是线段AB上的动点与点A、B不重合，过点C且平行于y轴的直线l交这个反比例函数的图象于点D，求面积的最大值；
（3）将（2）中面积取得最大值的沿射线AB方向平移一定的距离，得到，若点O的对应点落在该反比例函数图象上如图，则点的坐标是______．
       

【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，已知A（3，﹣3）、B（6，0），且OA＝OB．
（1）若△OA′B′与△OAB关于原点O成中心对称，则点A、B的对称点A′、B'的坐标分别为A′　 　，B′　 　；
（2）若将△OAB沿x轴向左平移m个单位，此时点A恰好落在反比例函数y＝的图象上，求m的值；
（3）若△OAB绕点O按逆时针方向旋转α°（0＜α＜90）；
①当α＝30时点B恰好落在反比例函数y＝的图象上，求k的值；
②问点A、B能否同时落在①中的反比例函数的图象上，若能，直接写出α的值，若不能，请说明理由．

【推荐1】在正六边形 ABCDEF中，N、M为边上的点，BM、AN相交于点P.

（1）如图1，若点N在边BC上，点M在边DC上，BN=CM，求证：BP·BM=BN·BC；
（2）如图2，若N为边DC的中点，M在边ED上，AM∥BN，求的值；
（3）如图3，若N、M分别为边BC、EF的中点，正六边形 ABCDEF的边长为2，请直接写出AP的长.

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+4与坐标轴交于A，B两点，动点C在x轴正半轴上，⊙D为△AOC的外接圆，射线OD与直线AB交于点E．
（1）如图①，若OE＝DE，求的值；
（2）如图②，当∠ABC＝2∠ACB时，求OC的长；
（3）点C由原点向x轴正半轴运动过程中，设OC的长为a，
①用含a的代数式表示点E的横坐标x_E；②若x_E＝BC，求a的值．

【推荐3】综合与探究
如图1，经过原点的抛物线与轴的另一个交点为，直线与抛物线交于，两点，已知点的横坐标为1，点为抛物线上一动点．

(1)求出，两点的坐标及直线的函数表达式．
(2)如图2，若点是直线上方的抛物线上的一个动点，直线交直线于点，设点的横坐标为，求的最大值．
(3)如图3，连接，抛物线上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．