【操作发现】如图（1），在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝45°，连接AC，BD交于点M．
①AC与BD之间的数量关系为 ；
②∠AMB的度数为 ；
【类比探究】如图（2），在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC，交BD的延长线于点M．请计算
的值及∠AMB的度数；
【实际应用】如图（3），是一个由两个都含有30°角的大小不同的直角三角板ABC、DCE组成的图形，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，∠A＝∠D＝30°且D、E、B在同一直线上，CE＝1，BC＝
，求点A、D之间的距离．
①AC与BD之间的数量关系为 ；
②∠AMB的度数为 ；
【类比探究】如图（2），在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC，交BD的延长线于点M．请计算
的值及∠AMB的度数；【实际应用】如图（3），是一个由两个都含有30°角的大小不同的直角三角板ABC、DCE组成的图形，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，∠A＝∠D＝30°且D、E、B在同一直线上，CE＝1，BC＝
，求点A、D之间的距离．
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更新时间：2019-06-21 15:11:12
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解答题-问答题
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较难
(0.4)
名校
【推荐1】小明在学习过程中遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，CA=CB,E是CD上一点，且ED=EB, ∠DEB=∠ACB,连接AD,探究∠ADC与∠DCB之间的数量关系.小明发现，∠ACD=∠CBE,CA=CB,因此可以通过作∠CAF=∠BCE交CD于点F构造全等，经过推理论证解决问题.
（1）按照小明思考问题的方法，解决问题；
（2）如图2，∠ACB=90º,CA=CB，D是AB上一点，过点D作DE⊥AB交AC于点E,过点E作EM⊥CD于点M,BN⊥CD于点N,探究EM,BN,CD之间的数量关系.
（1）按照小明思考问题的方法，解决问题；
（2）如图2，∠ACB=90º,CA=CB，D是AB上一点，过点D作DE⊥AB交AC于点E,过点E作EM⊥CD于点M,BN⊥CD于点N,探究EM,BN,CD之间的数量关系.
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解答题-作图题
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较难
(0.4)
【推荐2】综合与实践
下面是某数学兴趣小组探究问题的片段，请仔细阅读，并完成任务．
题目背景：在
中，
，
，点
在
上．
(1)【作图探讨】如图1，以
为圆心，
为半径画弧，
为圆心，
为半径画弧；两弧交于点
，连接
，
；则
．
选择填空：得出的依据是______（填序号）．
①
②
③
④
(2)【测量发现】如图2，在（1）中的条件下，连接
．兴趣小组用几何画板测量发现
和
的面积相等．为了证明结论，尝试延长线段
至点
，使
，连接
，从而得以证明．请完成证明过程．
(3)【迁移应用】如图3，
，，点在上，
，
，在射线
上是否存在点，使得
？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由．
下面是某数学兴趣小组探究问题的片段，请仔细阅读，并完成任务．
题目背景：在
中，，，点在上． (1)【作图探讨】如图1，以
为圆心，为半径画弧，为圆心，为半径画弧；两弧交于点，连接，；则．选择填空：得出
的依据是______（填序号）．①
② ③ ④(2)【测量发现】如图2，在（1）中
的条件下，连接．兴趣小组用几何画板测量发现和的面积相等．为了证明结论，尝试延长线段至点，使，连接，从而得以证明．请完成证明过程．(3)【迁移应用】如图3，
，，点在上，，，在射线上是否存在点，使得？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由．
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的延长线上，且
，连接
，垂足为H，交
的度数；
，
时，求
的长；
．
解答题-证明题
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较难
(0.4)
名校
解题方法
【推荐1】定义：在四边形ABCD中，如果∠ABC+∠ADC=90°，那么我们把这样的四边形称为余对角四边形．
【问题探索】
问题：如图1，已知AC、BD是余对角四边形ABCD的对角线，AC=BC，∠ACB=60°．
求证：
．
探索：小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法：
因为AC=BC，∠ACB=60°，所以△ABC是等边三角形，将△CBD绕点C顺时针方向旋转60°，得△CAE，连接DE．
……
请参考小明同学的想法，完成该问题的解答过程．
【问题推广】
已知AC、BD是余对角四边形ABCD的对角线，
，tan∠ACB=
．
（1）如图2，当
时，类比前面问题的解决，探究DA、DB、DC三者之间关系，并说明理由．
（2）如图3，当AD=
，BD=
，DC=5时，则
的值为 ；
【灵活运用】
如图4，已知AC、BD是余对角四边形ABCD的对角线，AC=2，BC=
，∠ACB=90°，
∠ADB=30°，AD= ．
【问题探索】
问题：如图1，已知AC、BD是余对角四边形ABCD的对角线，AC=BC，∠ACB=60°．
求证：
．探索：小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法：
因为AC=BC，∠ACB=60°，所以△ABC是等边三角形，将△CBD绕点C顺时针方向旋转60°，得△CAE，连接DE．
……
请参考小明同学的想法，完成该问题的解答过程．
【问题推广】
已知AC、BD是余对角四边形ABCD的对角线，
，tan∠ACB=．（1）如图2，当
时，类比前面问题的解决，探究DA、DB、DC三者之间关系，并说明理由．（2）如图3，当AD=
，BD=，DC=5时，则的值为 ；【灵活运用】
如图4，已知AC、BD是余对角四边形ABCD的对角线，AC=2，BC=
，∠ACB=90°，∠ADB=30°，AD= ．
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解答题-问答题
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(0.4)
【推荐2】如图①，平面内的两条直线
点
在直线
上，点
在直线
上，过
两点分别作的垂线，垂足分别为
，我们把线段
叫做线段在直线上的正投影，其长度可记为
或
特别地，线段在直线上的正投影就是线段
．请依据上述定义解决如下问题：
（1）如图①，若
，则
．
（2）如图②，在矩形
中，
，
，则
．
（3）如图③，在矩形中，点在边上（
），连接、，
①若
，求矩形的面积．
②如图④，点在
延长线上，连按，若
，
，
，求
．
点在直线上，点在直线上，过两点分别作的垂线，垂足分别为，我们把线段叫做线段在直线上的正投影，其长度可记为或特别地，线段在直线上的正投影就是线段．请依据上述定义解决如下问题：（1）如图①，若
，则 ．（2）如图②，在矩形
中，，，则 ．（3）如图③，在矩形
中，点在边上（），连接、，①若
，求矩形的面积．②如图④，点
在延长线上，连按，若，，，求．
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