【推荐1】如图是由火柴搭成的一些图案．
   
（1）照此规律搭下去，搭第4个图案需要多少根火柴？
（2）照此规律搭下去，搭第个图案需要多少根火柴？搭第2019个图案需要多少根火柴？

【推荐2】阅读材料，完成下列问题：
材料一：任意一个个位数字不为0的四位数x，都可以看作由前面三位数和最后一位数组成，交换这个数的前面三位数和最后一位数的位置，将得到一个新的四位数y，记，例如：，则，则，
材料二：如果一个正整数a是另一个整数b的平方，则称a是完全平方数，特别地零也是完全平方数．
（1）计算：　 　；
（2）若x的前三位所表示的数与最后一位数之差能被11整除，求证：p（x）能被11整除；
（3）若，（均为整数），且是完全平方数，求满足条件的的最小值．

【推荐1】下列各图形中的“  ”的个数和“ ”的个数是按照一定规律摆放的：

（1）观察图形，填写下表：

（2）当 n=_____时，“ ”的个数是“  ”的个数的 2 倍

【推荐2】（1）探究一，棋型再现：m条直线最多可以把平面分割成多少个部分？
如图1，很明显，平面中画出1条直线时，会得到1+1＝2个部分；所以，1条直线最多可以把平面分割成2个部分；
如图2，平面中画出第2条直线时，新增的一条直线与已知的1条直线最多有1个交点，这个交点会把新增的这条直线分成2部分，从而多出2个部分，即总共会得到1+1+2＝4个部分，所以，2条直线最多可以把平面分割成4个部分；
如图3，平面中画出第3条直线时，新增的一条直线与已知的2条直线最多有2个交点，这2个交点会把新增的这条直线分成3部分，从而多出3个部分，即总共会得到1+1+2+3＝7个部分，所以，3条直线最多可以把平面分割成7个部分；
平面中画出第4条直线时，新增的一条直线与已知的3条直线最多有3个交点，这3个交点会把新增的这条直线分成4部分，从而多出4个部分，即总共会得到1+1+2+3+4＝11个部分，所以，4条直线最多可以把平面分割成11个部分；…

问题一：5条直线最多可以把平面分割成 　 　个部分；
问题二：m条直线最多可以把平面分割成 　 　个部分（用m的代数式表示）；
（2）探究二，类比迁移：n个圆最多可以把平面分割成多少个部分？
如图4，很明显，平面中画出1个圆时，会得到1+1＝2个部分，所以，1个圆最多可以把平面分割成2个部分；
如图5，平面中画出第2个圆时，新增的一个圆与已知的1个圆最多有2个交点，这2个交点会把新增的这个圆分成2部分，从而多出2个部分，即总共会得到1+1+2＝4个部分，所以，2个圆最多可以把平面分割成4个部分；
如图6，平面中画出第3个圆时，新增的一个圆与已知的2个圆最多有4个交点，这4个交点会把新增的这个圆分成4部分，从而多出4个部分，即总共会得到1+1+2+4＝8个部分，…
平面中画出第4个圆时，新增的一个圆与已知的3个圆最多有6个交点，这6个交点会把新增的这个圆分成6部分，从而多出6个部分，即总共会得到1+1+2+4+6＝14个部分，…
问题三：5个圆最多可以把平面分割成 　 　个部分；
问题四：n个圆最多可以把平面分割成 　 　个部分（用n的代数式表示）；
问题五：如果n个圆最多可以把平面分割成508个部分，求n的值（要求写出解答过程）；
（3）探究三，拓展延伸：
问题六：5条直线和1个圆最多可以把平面分割成 　 　个部分；
问题七：m条直线和n个圆最多可以把平面分割成 　 　个部分（用m、n的代数式表示）．

【推荐3】小明利用课余时间学习利用画图软件模拟火柴棒拼图.
(1)当他按如左图所示方式画三角形时，那么画10个三角形需要 根火柴棒，利用61根火柴棒可以画 个三角形；
     
(2)当他按如右图所示方式画正方形时，那么利用61根火柴棒可以画 个正方形；
(3)小明利用软件绘制正方形并给其中两个顶点加粗时，发现只有“相邻”和“相对”两种结果，分别如图甲和图乙所示，因图丙和图丁分别是图甲和图乙的不同摆放方式，故视为同一种结果．那么，要给正六边形的四个顶点加粗，则结果有 种．