【推荐1】


(1)发现，如图1 ， 在平面内， 已知的半径为为外一点， 且为A上一动点， 连接， 易得的最大值为___________，最小值为__________．（用含的代数式表示）
(2)应用，①如图2， 在矩形中， 为中点， 为边上一动点， 在平面内沿将翻折得到， 连接， 则的最小值为___________．
②如图3，为线段外一动点，分别以为直角边，为直角顶点，作等腰和等腰， 连接． 若， 求的最大值．
(3)拓展：如图4， 已知以为直径的半为上一点， 为弧 上任意一点， 交， 连接， 若， 则的最小值为____________．

【推荐2】思考题：如图，正方形中，点P为上一个动点，点B关于的对称点为点M，的延长线交的延长线于点Q，点E为的中点，连接，过点D作交的延长线于点F，连接，求证：．

在分析过程中，小明找不到解题思路，便和同学们一起讨论，以下是讨论过程：

小红：可以得出；理由：连接，点M和点B关于对称，∵， 又∵，∴，∵点E为的中点，∴；……① 小亮：是等腰直角三角形； 理由：由小红的结论得，∴，， ∴， ∵，∴，，……② ∵是等腰直角三角形； 小明：我好像知道该怎么解决问题了．

请仔细阅读讨论过程，完成下述任务．
任务：
(1)小红的讨论中①的依据是______．
小亮的讨论中②的依据是______．
(2)请帮小明证明；
(3)若，连接，直接写出的最小值．

【推荐3】在平面直角坐标系中、的半径为1，为上一点，点．对于点给出如下定义：将点绕点顺时针旋转，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“对应点”．

(1)如图，已知点，点，点为点的“对应点”．
①在图中画出点；
②求证：．
(2)点在轴正半轴上，且，点为点的“对应点”，连接，当点在上运动时，直接写出长的最大值与最小值的积（用含的式子表示）

【推荐1】过四边形的顶点A作射线，P为射线上一点，连接.将绕点A顺时针方向旋转至，记旋转角，连接．

(1)【探究发现】如图1，数学兴趣小组探究发现，如果四边形中，且．无论点P在何处，总有，请证明这个结论；
(2)【类比迁移】如图2，如果四边形是菱形，，，连接．当，时，求线段扫过的面积；
(3)【拓展应用】如图3，如果四边形是矩形，，，平分，．在射线上截取，使得．当是直角三角形时，请直接写出的长．

【推荐3】如图①，将两个完全相同的三角形纸片ABC和重合放置，其中，，．
                 
（1）操作发现：如图②，固定，将绕点C旋转，当点恰好落在AB边上时．
①__，旋转角___（），线段与AC的位置关系是____．
②设的面积为，的面积为，则与的数量关系是___．
（2）猜想论证：当绕点C旋转到③所示的位置时，徐富老师猜想（1）中与的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了和中BC，边上的高，AE，请你证明徐富老师的猜想．
（3）拓展探究：如图④，，OP平分，点N为动点，交ON于点Q，若在射线OM上作点F，使，请证明．