【推荐1】如图，已知平分，将等边三角形的一个顶点放在射线上，两边分别与交于点．

（1）如图1，当三角形绕点旋转到时，求证：；
（2）如图2，当三角形绕点旋转到与不垂直时，线段与之间有什么数量关系？请说明理由．
（3）如图3，当三角形绕点旋转到与的反向延长线相交时，线段与之间有什么数量关系？（直接写出它们之间的数量关系，不用说明理由．）

【推荐2】探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．
   
在中，是边上一点，且（为正整数），是边上的动点，连接，过点作交直线于点．探究线段之间的数量关系．
(1)【初步成知】
如图1，当时，以下是小亮和小红两位同学的证明片段，请仔细阅读并补全小红的证明过程．

小亮： 证明：连接．     由题意，可知， 即为的中点． 平分， ． ． ． ． ． ． ．

小红： 证明：过点作于点，于点． 由题意，可知和均是等腰直角三角形，四边形是矩形．     ． 易得． ． ……

(2)【深入探究】
①如图2，当，且点在线段上时，试探究线段之间的数量关系，请写出结论并证明；
②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段之间的数量关系的一般结论．（直接写出结论，不必证明）
(3)【拓展运用】
在（1）的条件下，连接，设的中点为，若，请直接写出点从点运动到点的过程中，点运动的路径长．