【推荐1】如图，在中，，，．

(1)作图：作边的垂直平分线分别交，于点，．（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；
(2)在（1）的条件下，求线段的长．

【推荐2】教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容．

2．线段垂直平分线 我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图，直线是线段的垂直平分线，是上任一点，连接、，将线段沿直线对折，我们发现与完全重合，由此即有： 线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 已知：如图，，垂足点为，，点是直线的任意一点． 求证：． 分析：图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证明． 请写出完整的证明过程．

请根据所给教材内容，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．

定理应用：
（1）如图②，在中，、的垂直平分线分别交于点、，垂足分别为，，，则的周长为__________．
（2）如图③，在中，，，、分别是、上任意一点，若，的面积为，则的最小值是__________．

【推荐3】如图，在以为直径的中．
   
(1)请用尺规作图作的垂直平分线分别交于C，D两点，且垂足为E（不写作法保留作图痕迹）．
(2)顺次连接，求证：四边形为菱形．

【推荐1】如图，在正方形中，，M是边上一动点（不与D点重合），点D与点E关于所在的直线对称，连接，延长到点F，使得，连接．

(1)判断线段与的数量关系和位置关系，并说明理由；
(2)当点M在边上运动时，的面积是否发生变化？如果变化，求出面积的最大值或最小值；如果不变，求出的面积；
(3)当点M在边上运动到某一位置时，恰好为等腰三角形，求此时的值．

【推荐2】“玩转数学”实践活动，是一种非常有效的学习方式，我们一起来动手、动脑玩转数学吧．如图①，折一折：将正方形纸片折叠，使边，都落在对角线上，展开得折痕，，连接．

(1)_______°；
转一转：如图②，将图①中的绕点A旋转，使它的两边分别交边，于点P，Q，连接．
(2)猜想线段、、之间的数量关系，并说明理由；
(3)若正方形的边长为6，，求的长．

【推荐3】如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，∠BAC=∠DAC．

(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若AB=4，，求平行四边形ABCD的面积．