【推荐1】在中，，D为的中点，连结．动点P从点A出发沿折线以每秒2个单位长度的速度运动，连结，设点P的运动时间为t秒．

(1)求线段的长（用含有t的代数式表示）
(2)在运动过程中，当时，求t的值．
(3)当P在上运动时，，求的正切值．
(4)当点P不与点C重合时，作点C关于直线的对称点，当时，请直接写出t的值．

【推荐2】如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿AB以每秒5个单位长度的速度向终点B运动．以AP为腰作等腰三角形APQ，点Q在射线AC上，以点Q为直角顶点向PQ右侧作直角三角形PQD，使(点P不与点A，B重合）．设点P的运动时间为秒．
（1）用含的代数式表示线段DQ的长；
（2）当点D落在边BC上时，求t的值；
（3）设与重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（4）设E为边PD的中点，作射线BE，当射线BE将分成面积比为1：3的两部分时．直接写出此时t的值．

【推荐3】如图，矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm，点E从点A出发，沿射线AD移动，以CE为直径作圆O，点F为圆O与射线BD的公共点，连接EF、CF，过点E作EG⊥EF，EG与圆O相交于点G，连接CG．
（1）试说明四边形EFCG是矩形；
（2）当圆O与射线BD相切时，点E停止移动，在点E移动的过程中，
①矩形EFCG的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值；若不存在，说明理由；
②求点G移动路线的长．