【推荐1】如图，点P是线段BD上一个动点，∠B＝∠D＝90°，AB＝6，CD＝4，BD＝a．
（1）当∠APC＝90°，a＝14时，求BP的长度；
（2）若∠APC＝90°时，点P有两个符合要求即P₁，P₂，且P₁P₂＝2，求a的值；
（3）若∠APC＝120°时，点P有且只有一个点符合要求，求a的值．

【推荐2】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
（2）连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值；
（3）试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上．

【推荐3】如图，在中，，，，点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向终点运动，当点不与点，重合时，在边上取一点，满足，过点作，交边于点，以，为边作矩形，设点的运动时间为秒．

(1)直接写出线段的长用含的代数式表示；
(2)当矩形为正方形时，求的值；
(3)设矩形与重叠部分的面积为，求与之间的函数关系式；
(4)在整个运动过程中，直接写出点运动路径长．

【推荐1】抛物线与x轴交于A,B两点，与y轴交于C点，已知，抛物线顶点的横坐标为．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若点D是线段上的一个动点，过点D作轴于点E,延长交抛物线于点F,求线段的最大值及此时点D的坐标；
(3)在y轴上是否存在一点P,使得．若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由．

【推荐2】在Rt△ABC中，∠A＝90°，，点D为AB边上－点，，点P为BC边上一点，连接DP，将DP绕点D逆时针旋转90°得到线段DQ，连接PQ．

(1)BD＝______，DP的最小值是______；
(2)当∠BPQ＝15°时，求BP的长；
(3)连接BQ，若△BDQ的面积为3，求tan∠BDQ的值．

【推荐3】如图1，在中，，，点，分别是边，点的中点，连结．将绕点按顺时针方向旋转，记旋转角为．

(1)通过画图探究，发现：
①当时，______；②当时，______．
(2)当时，试判断是否是定值？请仅就图2所示情形给出证明．
(3)当旋转至，，三点共线时：
①求线段的长；②设为射线上的一动点，若以，，三点为顶点的三角形是直角三角形，试求的长．（直接写出答案即可）

【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线，交轴于点A，交轴于点，，连接．

   

(1)求抛物线的表达式；
(2)点是直线下方抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，是轴上一点，连接，使，求的最大值及此时点的坐标；
(3)将原抛物线沿方向平移个单位长度，在新抛物线上有一点，使得，请写出所有符合条件的横坐标，并写出其中一种情况的过程．

【推荐3】【问题提出】
（1）如图1，在矩形中，，，点E为的中点，点P为矩形内以为直径的半圆上一点，则的最小值为______；
【问题探究】
（2）如图2，在中，为边上的高，且，P为内一点，当时，求的最小值；
【问题解决】
（3）如图3，滨河学校餐厅门口有一块“疯狂四季”四边形菜园，，与相交于点P，且，过点A作直线的垂线交直线于点E，即，米．赵老师准备在内种植当季蔬菜，边BE的中点F为菜园出入口，为了种植方便，她打算在边上取点M，并沿、修两条人行走道，要求人行走道的总长度尽可能小，问的长度是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由．