【推荐1】已知，四边形是正方形， 绕点D旋转（），，，连接．

(1)如图1，求证：；
(2)直线与相交于点G．
①如图2，于点M，于点N，在旋转的过程中，的大小是否发生变化，请说明理由．
②如图3，连接BG，若，，直接写出在旋转的过程中，线段长度的最小值．

【推荐2】问题提出：
（1）如图1，已知Rt△ACB和Rt△ADB，∠ACB＝90°，∠ADB＝90°，其中CA＝CB，∠DAB＝30°，AB＝4，求△ACB和△ADB的面积分别是多少？
问题探究：
滨河学校初二年级小张是一名特别爱好专研数学的学生，他在数学老师的帮助下发现：对于任意三角形，其中一个内角和其对边都为定值时，当另两边相等时，该三角形面积达到最大．例如，如图2，在△ABC中，已知三角形内角B和其对边AC都为定值，当BA＝BC时，△ACB的面积达到最大．请利用小张同学的发现完成以下问题．
（2）如图3，在△ACB中，∠BAC＝120°，点D为BC的中点，AD＝4，当△ABD面积最大时，求线段AB的值．
问题解决：
（3）如图4，已知等边△ACB，∠ADB＝30°，CD＝4，求四边形ADBC的面积的最小值．

【推荐3】用四根一样长的木棍搭成菱形，是线段上的动点（点不与点和点重合），在射线上取一点，连接，，使．
操作探究一

（1）如图1，调整菱形，使，当点在菱形外时，在射线上取一点，使，连接，则______，=______．
操作探究二
（2）如图2，调整菱形，使，当点在菱形外时，在射线上取一点，使，连接，探索与的数量关系，并说明理由．
拓展迁移
（3）在菱形中，，．若点在直线上，点在射线上，且当时，请直接写出的长．

【推荐1】如图1，△ABC内接于⊙O，直径AD交BC于点E，延长AD至点F，使DF＝2OD，连接FC并延长交过点A的切线于点G，且满足AG∥BC，连接OC，若cos∠BAC＝，BC＝8．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）求⊙O的半径OC；
（3）如图2，⊙O的弦AH经过半径OC的中点F，连结BH交弦CD于点M，连结FM，试求出FM的长和△AOF的面积．

【推荐2】【课本再现】
(1)如图1，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形为两个正方形重叠部分，正方形可绕点O转动，则下列结论正确的是_______（填序号即可）．①；②；③四边形的面积总等于；④连接，总有．
   
【类比迁移】
(2)如图2，矩形的中心O是矩形的一个顶点，与边相交于点E，与边相交于点F，连接，矩形可绕着点O旋转，猜想之间的数量关系，并进行证明；
【拓展应用】
(3)如图3，在中，，直角的顶点D在边的中点处，它的两条边和分别与直线相交于点E，F，可绕着点D旋转，当时，求线段的长度．

【推荐3】如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，AC和BD交于点E，AB＝BC．
（1）求∠ADB的度数；
（2）过B作AD的平行线，交AC于F，试判断线段EA，CF，EF之间满足的等量关系，并说明理由；
（3）在（2）条件下过E，F分别作AB，BC的垂线，垂足分别为G，H，连接GH，交BO于M，若AG＝3，S_{四边形AGMO}：S_{四边形CHMO}＝8：9，求⊙O的半径．

【推荐1】在ABC中，AB＝7，∠A＝45°，sinB＝，P为线段AB上一动点，设AP＝x，过P作AB垂线交射线AC于点Q，将APQ绕PQ中点旋转180°得到DQP．

(1)点C到AB的距离为 　 　；
(2)求出点D在ABC内部时x的取值范围．
(3)当D点在ABC外部时，边PD与边BC交点为E，当图形中存在全等三角形时（除APQ与DQP全等外），求BE的长．
(4)点F为BC中点，作点B关于PD的对称点，连结，当与ABC的边平行时，直接写出x值．

【推荐2】在菱形ABCD中，AB＝10，∠A＝60°，P是射线AD上一点，连接BP，将△ABP沿BP折叠，得到△A′BP．

(1)如图，当点A′在AD左侧，且∠DPA′＝10时，求∠PBA的度数；
(2)当PA′⊥BC时，求线段AP的长；
(3)连接A′C，当A′C＝2时，求线段AP的长．

【推荐3】【问题提出】
（1）如图1，在矩形中，，，点E为的中点，点P为矩形内以为直径的半圆上一点，则的最小值为______；
【问题探究】
（2）如图2，在中，为边上的高，且，P为内一点，当时，求的最小值；
【问题解决】
（3）如图3，滨河学校餐厅门口有一块“疯狂四季”四边形菜园，，与相交于点P，且，过点A作直线的垂线交直线于点E，即，米．赵老师准备在内种植当季蔬菜，边BE的中点F为菜园出入口，为了种植方便，她打算在边上取点M，并沿、修两条人行走道，要求人行走道的总长度尽可能小，问的长度是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由．