【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，矩形的边与x轴、y轴的交点分别为，抛物线过B，C两点，动点M从点D开始以每秒5个单位长度的速度沿的方向运动到达C点后停止运动．动点N从点O以每秒4个单位长度的速度沿方向运动，到达C点后，立即返回，向方向运动，到达O点后，又立即返回，依此在线段上反复运动，当点M停止运动时，点N也停止运动，设运动时间为t．

（1）求抛物线的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）过点D与x轴平行的直线，交抛物线的对称轴于点Q，将线段沿过点B的直线翻折，点A的对称点为，求的最小值．

【推荐2】《函数的图象与性质》拓展学习展示：
【问题】如图①，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴相交于，两点，与轴交于点，则______，______．
【操作】将图①中抛物线沿方向平移长度的距离得到拋物线，在轴左侧的部分与在轴右侧的部分组成的新图象记为，如图②．请直接写出图象对应的函数解析式．
【探究】在图②中，过点作直线平行于轴，与图象交于，两点，如图③．求出图象在直线上方的部分对应的函数随的增大而增大时的取值范围．
【应用】是抛物线对称轴上一个动点，当是直角三角形时，直接写出点的坐标．

【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线()与轴交于，两点，与轴交于点，其顶点为点，点的坐标为，该抛物线与交于另一点，连接．
   
(1)求该抛物线的解析式．
(2)一动点从点出发，以每秒个单位的速度沿与轴平行的方向向上运动，连接，，设运动时间为秒()，在点的运动过程中，当为何值时，？
(3)在轴上方的抛物线上，是否存在点，使得被平分？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐1】如图，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴相交于点C，M是抛物线的顶点，直线是抛物线的对称轴，且点C的坐标为．

(1)求抛物线的解析式；
(2)已知P为线段上一个动点，过点P作轴于点D．若的面积为S．
①求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
②当S取得最大值时，求点P的坐标．
(3)在（2）的条件下，在线段上是否存在点P，使为等腰三角形？如果存在，直接写出满足条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．

(1)求这个二次函数的解析式；
(2)动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积．
(3)是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；